Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 162
2014-05-31 
Два спутника движутся по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, с линейными скоростями $v_{1} = 8 км/с$ и $v_{2} = 7,9 км/с$ в одну и ту же сторону. Определите интервал времени $\tau$, через который оба спутника периодически сближаются на кратчайшее расстояние. Считать, что Земля - шар с радиусом $R_{з} = 6400 км$, а ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_{з} = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Очевидно, что расстояние между спутниками меньшее тогда, когда они расположены на прямой, проходящей церез центр Земли, по одну сторону от нее (рис.).
Пусть в начальный момент времени t = 0 спутники находятся на кратчайшем расстоянии друг от друга. Обозначим через $\phi_{1}(t)$ и $\phi_{2}(t)$ их угловые координаты в произвольный момент времени $t$. Их координаты определяются формулами
$\phi_{1}(t)=\omega_{1}t$ и $\phi_{2}(t)=\omega_{2}t$ ,
где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ - угловые скорости спутников. Очевидно, что спутники будут вновь находиться на кратчайшем расстоянии друг от друга в такие моменты времени $t_{n}$, что
$\phi_{1}(t_{n})-\phi_{2}(t_{n})=(\omega_{1}-\omega_{2})t_{n}=2 \pi n, n=1,2, \cdots$
Отсюда
$t_{n}=\frac{2 \pi n}{\omega_{1}-\omega_{2}}$.
Спутники периодически сближаются на кратчайшее расстояние друг от друга через промежутки времени
$\tau \equiv t_{n+1} – t_{n} = \frac{2 \pi}{\omega_{1}-\omega_{2}}$. (1)
Выразим угловую скорость спутника $\omega$ через известные из условия задачи данные - $v, g_{з}$ и $R_{з}$. На спутник массой m, движущийся по орбите с радиусом R, со стороны Земли действует сила тяготения.
$F=G \frac{mM_{з}}{R^{2}}$. (2)
Здесь G - гравитационная постоянная и $M_{з}$ - масса Земли. Если бы спутник покоился на поверхности Земли, на него действовала бы сила
$F^{\prime} = G \frac{mM_{з}}{R^{2}_{з}}=mg_{з}$.
Это равенство позволяет выразить в формуле (2) произведение $GM_{з}$ через величины $R_{з}$ и $g_{з}$:
$F=mg_{з}(R_{з}/R)^{2}$.
Под действием силы $F$ спутник получает ускорение
$a = F/m = g_{з}(R_{з}/R)^{2}$. (3)
Это ускорение является центростремительным, и для него можно написать:
$a=v^{2}/R$. (4)
Из равенств (3) и (4) находим радиус орбиты
$R = g_{з}(R_{з}/v)^{2}$.
Спутник вращается по орбите с угловой скоростью
$\omega = \frac{v}{R} = \frac{v^{3}}{g_{з}R_{з}^{2}}$. (5)
Используя формулу (5), из равенства (1) находим
$\tau = \frac{2 \pi g_{з} R^{2}_{з}}{v^{3}_{1} – v^{3}_{2}} \approx 4 ч$.
Два спутника движутся по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, с линейными скоростями $v_{1} = 8 км/с$ и $v_{2} = 7,9 км/с$ в одну и ту же сторону. Определите интервал времени $\tau$, через который оба спутника периодически сближаются на кратчайшее расстояние. Считать, что Земля - шар с радиусом $R_{з} = 6400 км$, а ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_{з} = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Очевидно, что расстояние между спутниками меньшее тогда, когда они расположены на прямой, проходящей церез центр Земли, по одну сторону от нее (рис.).
Пусть в начальный момент времени t = 0 спутники находятся на кратчайшем расстоянии друг от друга. Обозначим через $\phi_{1}(t)$ и $\phi_{2}(t)$ их угловые координаты в произвольный момент времени $t$. Их координаты определяются формулами
$\phi_{1}(t)=\omega_{1}t$ и $\phi_{2}(t)=\omega_{2}t$ ,
где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ - угловые скорости спутников. Очевидно, что спутники будут вновь находиться на кратчайшем расстоянии друг от друга в такие моменты времени $t_{n}$, что
$\phi_{1}(t_{n})-\phi_{2}(t_{n})=(\omega_{1}-\omega_{2})t_{n}=2 \pi n, n=1,2, \cdots$
Отсюда
$t_{n}=\frac{2 \pi n}{\omega_{1}-\omega_{2}}$.
Спутники периодически сближаются на кратчайшее расстояние друг от друга через промежутки времени
$\tau \equiv t_{n+1} – t_{n} = \frac{2 \pi}{\omega_{1}-\omega_{2}}$. (1)
Выразим угловую скорость спутника $\omega$ через известные из условия задачи данные - $v, g_{з}$ и $R_{з}$. На спутник массой m, движущийся по орбите с радиусом R, со стороны Земли действует сила тяготения.
$F=G \frac{mM_{з}}{R^{2}}$. (2)
Здесь G - гравитационная постоянная и $M_{з}$ - масса Земли. Если бы спутник покоился на поверхности Земли, на него действовала бы сила
$F^{\prime} = G \frac{mM_{з}}{R^{2}_{з}}=mg_{з}$.
Это равенство позволяет выразить в формуле (2) произведение $GM_{з}$ через величины $R_{з}$ и $g_{з}$:
$F=mg_{з}(R_{з}/R)^{2}$.
Под действием силы $F$ спутник получает ускорение
$a = F/m = g_{з}(R_{з}/R)^{2}$. (3)
Это ускорение является центростремительным, и для него можно написать:
$a=v^{2}/R$. (4)
Из равенств (3) и (4) находим радиус орбиты
$R = g_{з}(R_{з}/v)^{2}$.
Спутник вращается по орбите с угловой скоростью
$\omega = \frac{v}{R} = \frac{v^{3}}{g_{з}R_{з}^{2}}$. (5)
Используя формулу (5), из равенства (1) находим
$\tau = \frac{2 \pi g_{з} R^{2}_{з}}{v^{3}_{1} – v^{3}_{2}} \approx 4 ч$.
