Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16184
2023-08-29 
Капли расплавленного свинца падают с башни высотой $h_{1} =80м$ в теплоизолированную ванну с водой. Вода имеет массу 2 кг и температуру $T_{0} = 30^{ \circ} C$. Проводя в полете время $t_{1} =4с$, свинец застывает у самой поверхности воды. Когда в ванну упало 1200 дробинок, температура воды в ванне стала $T_{к} = 100^{ \circ} C$. Потом свинец стали капать с платформы башни, расположенной на высоте $h_{2} =20м$, и капли долетали до воды за время $t_{2} =2с$. С платформы в ванну упало 8 капель. Сколько всего воды испарилось?
Между падением двух свинцовых капель проходит достаточно времени, чтобы в ванне установилось тепловое равновесие. Удельная теплоёмкость воды $c_{в} = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота парообразования $L = 2300 кДж/кг$, удельная теплоёмкость свинца $c_{с} = 130 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота плавления $\lambda = 25 кДж/кг$, температура плавления $T_{пл} = 327^{ \circ} C$. Капли свинца одинаковы и имеют массу 20 г, их начальная температура равна температуре плавления $T_{пл}$. Вода из ванны не выливается.
Решение:
Поскольку при падении с верха башни капли свинца застывают у самой поверхности воды, то во время полета их температура не меняется и равна температуре плавления. Когда капля падает в воду, часть воды выкипает, пока температура капли не станет равна $T_{к}$, затем происходит нагрев оставшейся воды. Заметим, что капли обладают потенциальной энергией, которая тоже переходит во внутреннюю энергию воды.
Уравнение теплового баланса для первых $N = 1200$ капель имеет вид
$N (gmh_{1} + c_{с}m(T_{пл} - T_{к})) = c_{в}M (T_{к} - T_{0}) + L \Delta M_{1}$,
так как по условию вода нагрелась до температуры $T_{к}$. Здесь мы ввели обозначения $M$ для изначальной массы воды в ванне и $\Delta M_{1}$ для массы выкипевшей воды.
Капли, падающие с основания башни, проводят в полете в два раза меньше времени, а значит, теряют в два раза меньше энергии, поскольку их температура в полете не меняется. Они долетают до воды полузастывшими, застывают уже в воде и охлаждаются.
Уравнение теплового баланса для $n = 8$ капель, падающих с основания башни, имеет вид
$n \left (gmh_{2} + \frac{ \lambda m}{2} + c_{с}m(T_{пл} - T_{к}) \right ) = L \Delta M_{2}$,
где $\Delta M_{2}$ - масса испарившейся воды.
Выражая из полученных равенств $\Delta M_{1}$ и $\Delta M_{2}$, получим, что всего воды испарилось
$\Delta M = \Delta M_{1} + \Delta M_{2} = \frac{m}{L} \left ( g(Nh_{1} + nh_{2}) + (N + n)c_{с} (T_{пл} - T_{к}) + n \frac{ \lambda}{2} \right ) - \frac{c_{в}M (T_{к} - T_{0})}{L} \approx 63,5 г$.
Ответ: $\Delta M \approx 63,5 г$.
Капли расплавленного свинца падают с башни высотой $h_{1} =80м$ в теплоизолированную ванну с водой. Вода имеет массу 2 кг и температуру $T_{0} = 30^{ \circ} C$. Проводя в полете время $t_{1} =4с$, свинец застывает у самой поверхности воды. Когда в ванну упало 1200 дробинок, температура воды в ванне стала $T_{к} = 100^{ \circ} C$. Потом свинец стали капать с платформы башни, расположенной на высоте $h_{2} =20м$, и капли долетали до воды за время $t_{2} =2с$. С платформы в ванну упало 8 капель. Сколько всего воды испарилось?
Между падением двух свинцовых капель проходит достаточно времени, чтобы в ванне установилось тепловое равновесие. Удельная теплоёмкость воды $c_{в} = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота парообразования $L = 2300 кДж/кг$, удельная теплоёмкость свинца $c_{с} = 130 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота плавления $\lambda = 25 кДж/кг$, температура плавления $T_{пл} = 327^{ \circ} C$. Капли свинца одинаковы и имеют массу 20 г, их начальная температура равна температуре плавления $T_{пл}$. Вода из ванны не выливается.
Решение:
Поскольку при падении с верха башни капли свинца застывают у самой поверхности воды, то во время полета их температура не меняется и равна температуре плавления. Когда капля падает в воду, часть воды выкипает, пока температура капли не станет равна $T_{к}$, затем происходит нагрев оставшейся воды. Заметим, что капли обладают потенциальной энергией, которая тоже переходит во внутреннюю энергию воды.
Уравнение теплового баланса для первых $N = 1200$ капель имеет вид
$N (gmh_{1} + c_{с}m(T_{пл} - T_{к})) = c_{в}M (T_{к} - T_{0}) + L \Delta M_{1}$,
так как по условию вода нагрелась до температуры $T_{к}$. Здесь мы ввели обозначения $M$ для изначальной массы воды в ванне и $\Delta M_{1}$ для массы выкипевшей воды.
Капли, падающие с основания башни, проводят в полете в два раза меньше времени, а значит, теряют в два раза меньше энергии, поскольку их температура в полете не меняется. Они долетают до воды полузастывшими, застывают уже в воде и охлаждаются.
Уравнение теплового баланса для $n = 8$ капель, падающих с основания башни, имеет вид
$n \left (gmh_{2} + \frac{ \lambda m}{2} + c_{с}m(T_{пл} - T_{к}) \right ) = L \Delta M_{2}$,
где $\Delta M_{2}$ - масса испарившейся воды.
Выражая из полученных равенств $\Delta M_{1}$ и $\Delta M_{2}$, получим, что всего воды испарилось
$\Delta M = \Delta M_{1} + \Delta M_{2} = \frac{m}{L} \left ( g(Nh_{1} + nh_{2}) + (N + n)c_{с} (T_{пл} - T_{к}) + n \frac{ \lambda}{2} \right ) - \frac{c_{в}M (T_{к} - T_{0})}{L} \approx 63,5 г$.
Ответ: $\Delta M \approx 63,5 г$.
