Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16183
2023-08-29 
Две одинаковых каретки массой по 150 г закреплены на паре параллельных вертикальных рельс, так что могут скользить по ним вверх и вниз. Каретки соединены между собой пружиной жёсткостью 200 Н/м и невесомым стержнем, благодаря которому всегда находятся на одной высоте. Стержень не препятствует деформации пружины. Сдвигая и раздвигая рельсы, Вася установил, что максимальное расстояние между рельсами, при котором каретки неподвижны - $L_{0} =14см$, и рассчитал коэффициент трения. Какое значение получил Вася? Пружина, соединяющая каретки, в недефомированном состоянии имеет длину $L =20 см$. Потом он установил рельсы на расстоянии $L_{1} =13см$ друг от друга и прикрепил стержень к потолку пружиной с малой жёсткостью 10 Н/м. Каретки находились на такой высоте, что вертикальная пружина не была деформирована. Резко раздвинув рельсы на расстояние $L_{2} =17см$, Вася дождался, когда каретки съехали вниз на 7 см, и быстро вернул рельсы в начальное положение. Какое расстояние проехали каретки до полной остановки после сближения рельсов?
Примечание: энергия, запасенная в деформированной пружине, равна $k \frac{ ( \Delta l)^{2}}{2}$, где $\Delta l$ - деформация пружины.
Решение:
Обозначим жёсткость пружины, соединяющей каретки друг с другом, $K$, жёсткость пружины, соединяющей их с потолком $k$, массу одной каретки $m$, коэффициент трения между кареткой и рельсом $\mu$.
В первом случае на каждую из кареток в горизонтальном направлении действуют сила упругости $F_{упр} = K(L - L_{0})$ со стороны пружины и сила реакции опоры $N$ со стороны рельса, а в вертикальном направлении сила тяжести $F_{т} = gm$ со стороны земли и сила трения $F_{тр} = \mu N$ со стороны рельса. Поскольку каретки неподвижны, $N = F_{упр}$ и $F_{т} = F_{тр}$, откуда
$\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{gm}{K(L - L_{0})} = 0,125$.
Рассмотрим систему после того, как Вася прикрепил стержень к потолку пружиной и резко раздвинул рельсы. Каретки съехали вниз на расстояние $H = 7 см$ и разогнались до скорости $v$, их потенциальная энергия уменьшилась на $2gmH$, кинетическая энергия увеличилась на $mv^{2}$. Энергия пружины, прикрепленной к потолку, увеличилась на $\frac{kH^{2}}{2}$ (так как изначально она не была деформирована), энергия пружины, соединяющей каретки, не менялась.
На каждую каретку действовала сила трения со стороны рельса $F_{тр} = \mu N = \mu F_{упр} = \mu K(L - L_{2})$, поэтому полная работа силы трения равна - $2F_{тр}H$. Изменение энергии системы равно работе силы трения, следовательно,
$-2 \mu K (L - L_{2} )H = mv^{2} + \frac{kH^{2}}{2} - 2gmH$,
откуда находим кинетическую энергию кареток:
$mv^{2} = 2gmH - 2 \mu K(L - L_{2})H - \frac{kH^{2}}{2}$.
Когда Вася сдвинул рельсы обратно, сила трения увеличилась и стала равной $F_{тр} = \mu K (L - L_{1})$. Пусть до полной остановки каретки проехали расстояние $h$. Работа силы трения на этом участке $-2 \mu K(L - L_{1})h$, кинетическая энергия кареток уменьшилась на $mv^{2}$, потенциальная - на $2gmh$, а энергия вертикальной пружины увеличилась на $\frac{k((h + H)^{2} - H^{2})}{2}$. Значит
$-2 \mu K(L - L_{1})h = \frac{k((h + H)^{2} - H^{2})}{2} - mv^{2} - 2gmh$.
Из этого равенства получаем квадратное уравнение для $h$:
$h^{2} +2h \left ( H + \frac{2 \mu K (L - L_{1}) - 2gm )}{k} \right ) + H^{2} + 4 \frac{ \mu K(L - L_{2}) - gm}{k} H = 0$.
Подставляя числовые значения в СИ, получим
$h^{2} +0,24h - 0, 0161 = 0$.
У этого уравнения есть два решения $h = - 0, 12 \pm 0,01 \sqrt{305} м$. Ясно, что физический смысл имеет только положительный корень $h \approx 5,5 см$.
Ответ: $\mu = 0,125, h \approx 5,5 см$.
Две одинаковых каретки массой по 150 г закреплены на паре параллельных вертикальных рельс, так что могут скользить по ним вверх и вниз. Каретки соединены между собой пружиной жёсткостью 200 Н/м и невесомым стержнем, благодаря которому всегда находятся на одной высоте. Стержень не препятствует деформации пружины. Сдвигая и раздвигая рельсы, Вася установил, что максимальное расстояние между рельсами, при котором каретки неподвижны - $L_{0} =14см$, и рассчитал коэффициент трения. Какое значение получил Вася? Пружина, соединяющая каретки, в недефомированном состоянии имеет длину $L =20 см$. Потом он установил рельсы на расстоянии $L_{1} =13см$ друг от друга и прикрепил стержень к потолку пружиной с малой жёсткостью 10 Н/м. Каретки находились на такой высоте, что вертикальная пружина не была деформирована. Резко раздвинув рельсы на расстояние $L_{2} =17см$, Вася дождался, когда каретки съехали вниз на 7 см, и быстро вернул рельсы в начальное положение. Какое расстояние проехали каретки до полной остановки после сближения рельсов?
Примечание: энергия, запасенная в деформированной пружине, равна $k \frac{ ( \Delta l)^{2}}{2}$, где $\Delta l$ - деформация пружины.
Решение:
Обозначим жёсткость пружины, соединяющей каретки друг с другом, $K$, жёсткость пружины, соединяющей их с потолком $k$, массу одной каретки $m$, коэффициент трения между кареткой и рельсом $\mu$.
В первом случае на каждую из кареток в горизонтальном направлении действуют сила упругости $F_{упр} = K(L - L_{0})$ со стороны пружины и сила реакции опоры $N$ со стороны рельса, а в вертикальном направлении сила тяжести $F_{т} = gm$ со стороны земли и сила трения $F_{тр} = \mu N$ со стороны рельса. Поскольку каретки неподвижны, $N = F_{упр}$ и $F_{т} = F_{тр}$, откуда
$\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{gm}{K(L - L_{0})} = 0,125$.
Рассмотрим систему после того, как Вася прикрепил стержень к потолку пружиной и резко раздвинул рельсы. Каретки съехали вниз на расстояние $H = 7 см$ и разогнались до скорости $v$, их потенциальная энергия уменьшилась на $2gmH$, кинетическая энергия увеличилась на $mv^{2}$. Энергия пружины, прикрепленной к потолку, увеличилась на $\frac{kH^{2}}{2}$ (так как изначально она не была деформирована), энергия пружины, соединяющей каретки, не менялась.
На каждую каретку действовала сила трения со стороны рельса $F_{тр} = \mu N = \mu F_{упр} = \mu K(L - L_{2})$, поэтому полная работа силы трения равна - $2F_{тр}H$. Изменение энергии системы равно работе силы трения, следовательно,
$-2 \mu K (L - L_{2} )H = mv^{2} + \frac{kH^{2}}{2} - 2gmH$,
откуда находим кинетическую энергию кареток:
$mv^{2} = 2gmH - 2 \mu K(L - L_{2})H - \frac{kH^{2}}{2}$.
Когда Вася сдвинул рельсы обратно, сила трения увеличилась и стала равной $F_{тр} = \mu K (L - L_{1})$. Пусть до полной остановки каретки проехали расстояние $h$. Работа силы трения на этом участке $-2 \mu K(L - L_{1})h$, кинетическая энергия кареток уменьшилась на $mv^{2}$, потенциальная - на $2gmh$, а энергия вертикальной пружины увеличилась на $\frac{k((h + H)^{2} - H^{2})}{2}$. Значит
$-2 \mu K(L - L_{1})h = \frac{k((h + H)^{2} - H^{2})}{2} - mv^{2} - 2gmh$.
Из этого равенства получаем квадратное уравнение для $h$:
$h^{2} +2h \left ( H + \frac{2 \mu K (L - L_{1}) - 2gm )}{k} \right ) + H^{2} + 4 \frac{ \mu K(L - L_{2}) - gm}{k} H = 0$.
Подставляя числовые значения в СИ, получим
$h^{2} +0,24h - 0, 0161 = 0$.
У этого уравнения есть два решения $h = - 0, 12 \pm 0,01 \sqrt{305} м$. Ясно, что физический смысл имеет только положительный корень $h \approx 5,5 см$.
Ответ: $\mu = 0,125, h \approx 5,5 см$.
