2023-08-29
Водолазный колокол в форме цилиндра опускают в большой бассейн с двумя несмешивающимися жидкостями. Толщина верхнего слоя жидкости $h_{1} =1,5 м$, её плотность $\rho_{1} = 800 кг/м^{3}$, плотность нижней жидкости $\rho_{2} = 1000 кг/м^{3}$.
1) Какой объём жидкости из верхнего слоя окажется в колоколе, когда его низ опустится до линии раздела жидкостей?
2) Определите, при какой глубине погружения (расстоянии от низа колокола до границы жидкость-воздух) колокол начнет тонуть.
Изменением уровня жидкости в бассейне пренебречь. Стенки колокола тонкие, масса колокола $m = 1000 кг$, высота $H =2м$, площадь основания $S =1м^{2}$. При погружении давление и объём воздуха изменяются по закону Бойля - Мариотта $pV = const$. Атмосферное давление $p_{0} =10^{5} Па$.
Решение:
Очевидно, масса воздуха в колоколе пренебрежимо мала по сравнению с массой самого колокола.
1) Обозначим высоту столба жидкости из первого слоя в колоколе $a$. Когда низ колокола находится на линии раздела двух жидкостей, давление воздуха в нем равняется $p_{1} = g \rho_{1} (h_{1} - a)+p_{0}$, а его объём $V_{1} = S (H - a)$. Тогда, по закону Бойля - Мариотта
$p_{0}SH = ( g \rho_{1}( h_{1} - a) + p_{0}) S (H - a)$,
откуда следует, что
$a^{2} - a \left ( H + h_{1} + \frac{p_{0}}{ g \rho_{1}} \right ) + Hh_{1} = 0$.
Подставляя числа, получим
$a^{2} - 16a + 3 =0$.
Уравнение имеет два решения $a = 8 \pm \sqrt{61}$, одно из которых, очевидно больше высоты колокола $H$ и поэтому физически не может реализоваться. Следовательно, $a = 8 - \sqrt{61} \approx 0,2 м$. Объём жидкости из первого слоя в колоколе равен $aS \approx 0,2 м^{3}$.
2) Колокол начнёт тонуть, когда действующие на него сила Архимеда и сила тяжести станут равны. Из данных численных значений ясно, что это произойдет, когда колокол полностью погрузится в нижнюю жидкость. Обозначим расстояние от низа колокола до границы раздела двух жидкостей $h_{2}$ , высоту столба жидкости из второго слоя в колоколе $b$.
Сила Архимеда, действующая на колокол и находящуюся в нем жидкость из первого слоя, равна $F_{A} = g \rho_{2}S(H - b)$, а сила тяжести $F_{т} = g \rho_{1} Sa + gm$. Из условия $F_{A} = F_{т}$ находим $b$:
$b = H - a \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} - \frac{m}{ \rho_{2}S}$.
Давление воздуха в колоколе при погружении во вторую жидкость на $h_{2}$ равно $p_{2} = p_{0} + g \rho_{1} (h_{1} - a) + g \rho_{2} (h_{2} - b)$. По закону Бойля - Мариотта
$p_{0}SH =(p_{0} + g \rho_{1} (h_{1} - a) + g \rho_{2}(h_{2} - b))S(H - a - b)$.
Выразим из этого равенства $h_{2}$
$h_{2} = b + \frac{p_{0}}{ g \rho_{2}} \left ( \frac{H}{H - a - b} - 1 \right ) - (h_{1} - a) \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}}$,\
и подставим $b$:
$h_{2} = H - \frac{m}{ \rho_{2}S} + \frac{p_{0}}{ g \rho_{2}} \left ( \frac{H}{ \frac{m}{ \rho_{2}S } - a \left ( 1 - \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} \right ) } - 1 \right ) - h_{1} \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} \approx 10,6 м$.
Следовательно, глубина погружения колокола, при которой он начинает тонуть, равна
$h = h_{1} + h_{2} \approx 12,1 м$.
Ответ: 1) $0,2 м^{3}$; 2) 12,1 м.