2023-08-29
Легкий цилиндрический сосуд c площадью дна $S_{1} =16 см^{2}$ и высотой $h = 15 см$ плавает в воде, внутри более крупной емкости с площадью дна $S_{2} =24см^{2}$. Внутренний сосуд частично заполнен неизвестной жидкостью, так что он погружен в воду на половину своей высоты, при этом ось сосуда является вертикальной.
1. Найдите плотность неизвестной жидкости, если она занимает треть внутреннего объема сосуда.
2. На сколько сантиметров нужно переместить внутренний сосуд вверх, чтобы его нижняя поверхность оказалась вровень с водой?
3. Во внутренний сосуд доливают бензин. Какой толщины должен быть слой бензина, чтобы его уровень внутри сосуда совпал с уровнем воды снаружи сосуда?
Плотность воды 1000 $кг/м^{3}$, плотность бензина 750 $кг/м^{3}$, ускорение свободного падения 10 $м/с^{2}$. Бензин и неизвестная жидкость не смешиваются, толщина стенок сосуда мала.
Решение:
Обозначения:
$\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$ - плотность воды;
$\rho_{1}$ - плотность неизвестной жидкости;
$\rho_{2} = 750 кг/м^{3}$ - плотность бензина;
$h_{2}$ - толщина слоя бензина.
1) Запишем условие плавания внутреннего сосуда:
$\rho_{1}S_{1} \frac{h}{3} g = \rho_{0} S_{1} \frac{h}{2}g$,
$\rho_{1} = 1,5 \rho_{0} = 1,5 \cdot 1000 кг/м^{3} = 1500 кг/м^{3}$.
2) Для того чтобы вычислить перемещение внутреннего сосуда $\Delta x$, нужно учесть перемещение воды во внешнем сосуде.
$\Delta x = x_{1} - x_{2}$.
$x_{1}$ - высота погруженной части внутреннего сосуда, $x_{2}$ -изменение уровня жидкости во внешнем сосуде.
$x_{1} = \frac{h}{2} = \frac{15}{2} см = 7,5 см$.
Объем погруженной части внутреннего сосуда равен объему вытесненной воды во внешнем сосуде. Так можем найти, насколько изменился уровень воды:
$S_{1} \Delta x = ( S_{2} - S_{1}) x_{2}$,
$S_{1}x_{1} = S_{2}x_{2}$,
$x_{2} = \frac{S_{1}}{S_{2}} x_{1} = \frac{16 см^{2}}{24 см^{2}} \cdot 7,5 см = 5 см$.
Тогда перемещение внутреннего сосуда равно:
$\Delta x = x_{1} - x_{2} = (7,5 - 5) см = 2,5 см$.
3) Запишем условие плавания внутреннего сосуда, в который долили бензин, при условии, что уровень жидкости во внутреннем и внешнем сосудах совпадают:
$\rho_{0}S_{1}g \left ( \frac{h}{3} + h_{2} \right ) = \left ( \rho_{1} \frac{h}{3} + \rho_{2}h_{2} \right ) S_{1} g$,
$\rho_{1} \frac{h}{3} + \rho_{2}h_{2} = \rho_{0} \frac{h}{3} + \rho_{0}h_{2}$,
$h_{2} ( \rho_{0} - \rho_{2} ) = \frac{h}{3} ( \rho_{1} - \rho_{0})$,
$h_{2} = h \frac{ \rho_{1} - \rho_{0}}{ 3( \rho_{0} - \rho_{2} )} = 15 см \cdot \frac{(1500 - 1000) кг/м^{3}}{ 3 \cdot (1000 - 750) кг/м^{3}} = 10 см$.
Ответ: 1) 1500 $кг/м^{3}$; 2) 2,5 см; 3) 10 см