2023-08-29
Массы поршней гидравлического пресса подобраны так, чтобы в отсутствие грузов уровни воды в левом и правом коленах были равны. На больший поршень кладут деревянное тело 1, расстояние между поршнями становится $x_{1} =10см$. На меньший поршень кладут деревянное тело 2, система приходит в равновесие и уровень воды выравнивается. После этого тела 1 и 2 снимают с поршней и ПОД меньший поршень помещают тело 2. Воздух под поршень не попадает.
1. Найти отношение объемов тел (1 к 2).
2. Найти изменение уровня воды в меньшем колене (относительно начального положения) в результате всех описанных действий.
Плотность воды 1000 $кг/м^{3}$, плотность дерева 800 $кг/м^{3}$, отношение масс поршней $\frac{M_{1}}{M_{2}} =4$. Ускорения свободного падения $g =10 м/с^{2}$. Толщиной поршней пренебречь.
Решение:
Обозначения:
$\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$ - плотность воды; $\rho = 800 кг/м^{3}$ - плотность дерева;
$M_{1}, M_{2}$ - массы большего и меньшего поршня, соответственно;
$m_{1}, m_{2}$ - массы тела 1 и тела 2, соответственно;
$S_{1}, S_{2}$ - площади большего и меньшего поршня, соответственно;
$v_{1} ,v_{2}$ - объемы тел 1 и 2, соответственно.
1) Рассмотрим ситуацию, когда уровень воды в левом и правом коленах равны (на поршнях грузов нет). Запишем условия равенства давлений в жидкости на уровне поршней:
$\frac{M_{1}g}{S_{1}} = \frac{M_{2}g}{S_{2}}$,
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{M_{1}}{M_{2}} = 4$.
2) Рассмотрим ситуацию, когда на больший поршень положили тело 1. Запишем условие равенства давлений в жидкости на уровне большего поршня:
$\frac{M_{1}g + m_{1}g}{S_{1}} = \frac{M_{2}g}{S_{2}} + \rho_{0}gx_{1}$,
$\frac{m_{1}}{S_{1}} = \rho_{0}x_{1}$.
3) Рассмотрим ситуацию, когда на большем поршне лежит тело 1, на меньшем - тело 2, и уровень жидкости в коленах одинаков. Запишем условие равенства давлений в жидкости на уровне поршней:
$\frac{M_{1}g + m_{1}g}{S_{1}} = \frac{M_{2}g + m_{2}g}{S_{2}}$,
$\frac{m_{1}}{S_{1}} = \frac{m_{2}}{S_{2}}$.
Заметим, что из отношения масс мы можем выразить отношение объемов:
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{ \rho v_{1}}{ \rho v_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$,
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{S_{1}}{S_{2}} = 4$.
Итак, мы получили искомое отношение объемов тел (1 к 2):
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = 4$.
4) Рассмотрим ситуацию, когда тела 1 и 2 сняли с поршней и под меньший поршень поместили тело 2. Запишем условие равенства давлений в жидкости на уровне большего поршня: $x_{2}$ - расстояние между поршнями
$\frac{M_{1}g}{S_{1}} = \frac{M_{2}g}{S_{2}} + \rho_{0}gx_{2} + \frac{m_{2}g - \rho_{0}gv_{2}}{S_{2}}$,
$\rho_{0}x_{2} + \frac{( \rho - \rho_{0}) v_{2}}{S_{2}} = 0$,
$x_{2} = \frac{( \rho_{0} - \rho )v_{2}}{ \rho_{0}S_{2}} = \frac{v_{2}}{S_{2}} - \frac{m_{2}}{ \rho_{0}S_{2}}$.
Используем известные нам соотношения, чтобы преобразовать полученное выражение.
$\frac{m_{2}}{ \rho_{0}S_{2}} = \frac{m_{1}}{ \rho_{0}S_{1}} = \frac{ \rho_{0}x_{1}}{ \rho_{0}} = x_{1}$,
$\frac{v_{2}}{S_{2}} = \frac{m_{2}}{ \rho S_{2}} = \frac{m_{1}}{ \rho S_{1}} = \frac{ \rho_{0} x_{1}}{ \rho}$.
Вычислим расстояние между поршнями:
$x_{2} = \frac{ \rho_{0} x_{1}}{ \rho} - x_{1} = x_{1} \frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho} = 10 см \frac{(1000 - 800) кг/м^{3}}{800 кг/м^{3}} = 2,5 см$
Перемещение меньшего поршня (изменение уровня воды в меньшем колене) однозначно связано с расстоянием между поршнями: расстояние между поршнями равно сумме перемещений обоих поршней. Пусть $\Delta x$ - перемещение меньшего поршня. Тогда перемещение большего поршня будет равно $\Delta x \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{ \Delta x}{4}$.
$\Delta x + \frac{ \Delta x}{4} = x_{2}$,
$\Delta x = 0,8x_{2} = 0,8 \cdot 2,5 см = 2 см$.
Ответ: 1) 4; 2) 2 см.