2023-08-29
Небольшой кубик со стороной $a =3см$ склеен из двух прямоугольных параллелепипедов: деревянного и пластикового. Вася заметил, что если положить кубик в воду деревом вниз, то он будет плавать так, что слой пластика будет погружен на 1/3 высоты, а если его перевернуть, то над водой будет выступать половина деревянной части кубика.
1. Найдите отношение высот параллелепипедов (пластик : дерево).
2. На кубик надавили так, что его верхняя грань оказалась на уровне воды. Найти перемещение кубика, если сечение сосуда постоянно и имеет площадь $S_{0} =30см^{2}$.
3. Какова плотность пластика?
Плотность воды 1000 $кг/м^{3}$; плотность дерева 800 $кг/м^{3}$. Ускорение свободного падения: $g = 10 м/с^{2}$
Решение:
Введем обозначения для используемых величин:
$\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$ - плотность воды;
$\rho_{1}$ - плотность пластика; $\rho_{2} = 800 кг/м^{3}$ - плотность дерева;
$h_{1}, h_{2}$ - высоты пластового и деревянного параллелепипедов соответственно.
1) Заметим, что сила Архимеда, действующая на кубик, не будет зависеть от того, какой стороной он повернут, так как в обоих случаях она равна по модулю силе тяжести кубика.
Сила Архимеда, действующая на кубик, в случае, когда он повернут деревом вниз:
$F_{a} = \rho_{0}ga^{2} \left ( h_{2} + \frac{h_{1}}{3} \right )$.
Сила Архимеда, действующая на кубик, в случае, когда он повернут пластиком вниз:
$F_{a} = \rho_{0}ga^{2} \left ( h_{2} + \frac{h_{1}}{3} \right )$.
Приравнивая эти выражения, получаем:
$h_{2} + \frac{h_{1}}{3} = h_{1} + \frac{h_{2}}{2}$,
$\frac{2h_{1}}{3} = \frac{h_{2}}{2}$,
$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{3}{4}$.
Кроме того, можем непосредственно вычислить эти высоты из условия $h_{1} + h_{2} = a$
$h_{1} = \frac{3a}{7} = \frac{9}{7} см$,
$h_{2} = \frac{4a}{7} = \frac{12}{7} см$.
2) Для того чтобы вычислить перемещение кубика $x$, нужно учесть перемещение воды следующим образом: $x = x_{1} - x_{2}$ , где $x_{1}$ - высота части кубика, выступающей из воды, $x_{2}$ - изменение уровня воды.
$x_{1} = \frac{h_{2}}{2} = \frac{6}{7} см$.
Объем погруженной части кубика равен объему вытесненной воды. Таким образом можем найти изменение уровня воды:
$a^{2}x =(S_{0} - a^{2})x_{2}$,
$a^{2}x_{1} = S_{0}x_{2}$,
$x_{2} = \frac{a^{2}x_{1}}{S_{0}} = \frac{9 см^{2} \cdot \frac{6}{7} см}{30 см^{2}} = \frac{9}{35} см$.
Тогда перемещение кубика окажется равным:
$x = x_{1} - x_{2} = \left ( \frac{6}{7} - \frac{9}{35} \right ) см = 0,6 см$.
3) Запишем условие плавания кубика в том случае, когда он повернут деревом вниз:
$\rho_{0}ga^{2} \left ( h_{2} + \frac{h_{1}}{3} \right ) = ( \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2} )ga^{2}$,
$\rho_{1}h_{1} = \rho_{0}h_{2} + \frac{ \rho_{0}h_{1}}{3} - \rho_{2}h_{2}$,
$\rho_{1} = \frac{h_{2}}{h_{1}} ( \rho_{0} - \rho_{2} ) + \frac{ \rho_{0}}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (1000 - 800) кг/м^{3} + \frac{1000}{3} кг/м^{3} = 600 кг/м^{3}$.
Ответ: 1) 3 : 4 ; 2) 0,6 см ; 3) 600 $кг/м^{3}$.