Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16157
2023-08-29 
С земли вертикально вверх запустили ракету. Она летела 4 секунды с постоянным ускорением $30 м/с^{2}$, после чего у неё кончилось топливо. Вторую такую же ракету запусти ли с того же места через 2 секунды после старта первой. На какой высоте ракеты столкнулись? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ , сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
1) Изобразим схематично графики зависимости высоты от времени для ракеты 1 (непрерывная кривая) и для ракеты 2 (пунктирная кривая). Вторая кривая повторяет первую со сдвигом по времени на $t_{з} = 2 с$. Точка пересечения графиков определяет высоту $h_{c}$ и время $t_{c}$ столкновения. Очевидно, что столкновение произойдет после набора первой ракетой максимальной высоты.
2) Первая ракета наберет максимальную высоту, когда ее скорость будет равна нулю. Это произойдет через время
$t_{max} = t_{д} + \frac{t_{д} \cdot a}{g} = 16 с$,
где $t_{д}$ - время работы двигателя, $a$ - ускорение ракеты при работающем двигателе. К этому времени у второй ракеты тоже закончится топливо, и она будет двигаться с ускорением $ - g$.
В результате высоты нахождения ракет в момент столкновения можно выразить сходным образом:
$h_{1} = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д}(t_{с} - t_{д}) - \frac{g(t_{с} - t_{д})^{2}}{2}$,
$h_{2} = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д} (t_{с} - t_{д} - t_{з}) - \frac{g(t_{c} - t_{д} - t_{з})^{2}}{2}$.
3) В момент столкновения $h_{1} = h_{2}$. Решая уравнение $h_{1} = h_{2}$ относительно $t_{c}$, получаем
$t_{c} = \frac{at_{д}}{g} + t_{д} + \frac{t_{з}}{2} = 17 с$.
4) Высоту столкновения получаем подстановкой $t_{c}$ в выражение для $h_{1}$:
$h_{c} = h_{1} (t_{c}) = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д} \left ( \frac{at_{д}}{g} + t_{д} + \frac{t_{з}}{2} - t_{д} \right ) - \frac{1}{2} g \left ( \frac{at_{д}}{g} + at_{д} + \frac{at_{з}}{2} - at_{д} \right )^{2}$;
$h_{c} = \frac{1}{2} at_{д}^{2} \left (1 + \frac{a}{g} \right ) - \frac{gt_{з}^{2}}{8} = 955 м$.
Ответ: 955 м.
С земли вертикально вверх запустили ракету. Она летела 4 секунды с постоянным ускорением $30 м/с^{2}$, после чего у неё кончилось топливо. Вторую такую же ракету запусти ли с того же места через 2 секунды после старта первой. На какой высоте ракеты столкнулись? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ , сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
1) Изобразим схематично графики зависимости высоты от времени для ракеты 1 (непрерывная кривая) и для ракеты 2 (пунктирная кривая). Вторая кривая повторяет первую со сдвигом по времени на $t_{з} = 2 с$. Точка пересечения графиков определяет высоту $h_{c}$ и время $t_{c}$ столкновения. Очевидно, что столкновение произойдет после набора первой ракетой максимальной высоты.
2) Первая ракета наберет максимальную высоту, когда ее скорость будет равна нулю. Это произойдет через время
$t_{max} = t_{д} + \frac{t_{д} \cdot a}{g} = 16 с$,
где $t_{д}$ - время работы двигателя, $a$ - ускорение ракеты при работающем двигателе. К этому времени у второй ракеты тоже закончится топливо, и она будет двигаться с ускорением $ - g$.
В результате высоты нахождения ракет в момент столкновения можно выразить сходным образом:
$h_{1} = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д}(t_{с} - t_{д}) - \frac{g(t_{с} - t_{д})^{2}}{2}$,
$h_{2} = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д} (t_{с} - t_{д} - t_{з}) - \frac{g(t_{c} - t_{д} - t_{з})^{2}}{2}$.
3) В момент столкновения $h_{1} = h_{2}$. Решая уравнение $h_{1} = h_{2}$ относительно $t_{c}$, получаем
$t_{c} = \frac{at_{д}}{g} + t_{д} + \frac{t_{з}}{2} = 17 с$.
4) Высоту столкновения получаем подстановкой $t_{c}$ в выражение для $h_{1}$:
$h_{c} = h_{1} (t_{c}) = \frac{at_{д}^{2}}{2} + at_{д} \left ( \frac{at_{д}}{g} + t_{д} + \frac{t_{з}}{2} - t_{д} \right ) - \frac{1}{2} g \left ( \frac{at_{д}}{g} + at_{д} + \frac{at_{з}}{2} - at_{д} \right )^{2}$;
$h_{c} = \frac{1}{2} at_{д}^{2} \left (1 + \frac{a}{g} \right ) - \frac{gt_{з}^{2}}{8} = 955 м$.
Ответ: 955 м.
