Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16143
2023-08-16 
Одну половину длинной узкой щели шириной $b$ перекрывают тонкой прозрачной пластиной с показателем преломления $n$. В результате интенсивность света в центре дифракционной картины уменьшается в два раза (рис.). Найти толщину $d$ пластины и интенсивность света в направлениях, соответствующих направлениям на дифракционные минимумы в отсутствие пластины.
Решение:
При наличии стеклянной пластины волны от перекрытых ею вторичных источников испытывают дополнительную задержку по фазе на $\delta = kd(n -1)$. Следовательно, для угла дифракции $\phi = 0$ на векторной диаграмме (рис.) вектор $\vec{O_{1}O_{2}}$, равный половине вектора $\vec{OO}_{2}$, следует повернуть на угол $\delta$ против часовой стрелки. Так как по условию задачи $I^{ \prime}( \phi = 0) = \frac{I_{0}}{2}$, то в центре картины амплитуда поля должна быть в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем в случае без пластины, т.е. длина вектора $\vec{OO}_{2}^{ \prime}$ в $\sqrt{2}$ раз меньше длины вектора $\vec{OO}_{2}$. Из рис. видно что,
$\delta = \frac{ \pi}{2} + \pi m$,
$d = \frac{ \delta }{ k(n - 1)} = \frac{1 + 2 m}{4(n - 1)} \lambda$. ($m = 0,1,2, \cdots$).
По аналогии для произвольного угла дифракции $\phi$ на такой же угол $\delta$ следует повернуть вектор $\vec{O_{1}O_{2}}$ (рис. а, б), при этом дифракционная картина окажется несимметричной относительно $\phi$ (рис. а соответствует случаю $\phi > 0$, рис. б - случаю $\phi < 0$).
В отсутствие пластины для направлений на первый дифракционный минимум ($\sin \phi_{ \pm 1} = \pm \frac{ \lambda}{b}$) векторная диаграмма имеет вид окружности, длина которой равна длине вектора $OO_{2}$ на рис., и, следовательно, пропорциональна амплитуде поля в центре картины $A_{0}$. При наличии пластины, как видно из рис. в, амплитуда поля равна
$A_{ \pm 1} = 2 \sqrt{2}R_{1}$,
где $R_{1} = \frac{A_{0}}{2 \pi}$ - радиус окружности векторной диаграммы. Для интенсивности $I_{ \pm 1}$ получим: $I_{ \pm 1} = A_{ \pm 1}^{2} = 8R_{1}^{2} = \frac{2I_{0}}{ \pi^{2}}$.
Для направлений на второй дифракционный минимум ($\sin \phi_{ \pm 2} = \pm 2 \frac{ \lambda}{b}$) амплитуда поля остается равной нулю, так как на векторной диаграмме точки $O, O_{1}$ и $O_{2}$ совпадают (рис. г).
Аналогично, для всех последующих нечетных «минимумов» ($m$ - номер минимума):
$I_{ \pm m} = A_{ \pm m}^{2} = 8R_{m}^{2} = \frac{2I_{0}}{(m \pi)^{2}}$,
а для всех четных $I_{ \pm m} = 0$.
Одну половину длинной узкой щели шириной $b$ перекрывают тонкой прозрачной пластиной с показателем преломления $n$. В результате интенсивность света в центре дифракционной картины уменьшается в два раза (рис.). Найти толщину $d$ пластины и интенсивность света в направлениях, соответствующих направлениям на дифракционные минимумы в отсутствие пластины.
Решение:
При наличии стеклянной пластины волны от перекрытых ею вторичных источников испытывают дополнительную задержку по фазе на $\delta = kd(n -1)$. Следовательно, для угла дифракции $\phi = 0$ на векторной диаграмме (рис.) вектор $\vec{O_{1}O_{2}}$, равный половине вектора $\vec{OO}_{2}$, следует повернуть на угол $\delta$ против часовой стрелки. Так как по условию задачи $I^{ \prime}( \phi = 0) = \frac{I_{0}}{2}$, то в центре картины амплитуда поля должна быть в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем в случае без пластины, т.е. длина вектора $\vec{OO}_{2}^{ \prime}$ в $\sqrt{2}$ раз меньше длины вектора $\vec{OO}_{2}$. Из рис. видно что,
$\delta = \frac{ \pi}{2} + \pi m$,
$d = \frac{ \delta }{ k(n - 1)} = \frac{1 + 2 m}{4(n - 1)} \lambda$. ($m = 0,1,2, \cdots$).
По аналогии для произвольного угла дифракции $\phi$ на такой же угол $\delta$ следует повернуть вектор $\vec{O_{1}O_{2}}$ (рис. а, б), при этом дифракционная картина окажется несимметричной относительно $\phi$ (рис. а соответствует случаю $\phi > 0$, рис. б - случаю $\phi < 0$).
В отсутствие пластины для направлений на первый дифракционный минимум ($\sin \phi_{ \pm 1} = \pm \frac{ \lambda}{b}$) векторная диаграмма имеет вид окружности, длина которой равна длине вектора $OO_{2}$ на рис., и, следовательно, пропорциональна амплитуде поля в центре картины $A_{0}$. При наличии пластины, как видно из рис. в, амплитуда поля равна
$A_{ \pm 1} = 2 \sqrt{2}R_{1}$,
где $R_{1} = \frac{A_{0}}{2 \pi}$ - радиус окружности векторной диаграммы. Для интенсивности $I_{ \pm 1}$ получим: $I_{ \pm 1} = A_{ \pm 1}^{2} = 8R_{1}^{2} = \frac{2I_{0}}{ \pi^{2}}$.
Для направлений на второй дифракционный минимум ($\sin \phi_{ \pm 2} = \pm 2 \frac{ \lambda}{b}$) амплитуда поля остается равной нулю, так как на векторной диаграмме точки $O, O_{1}$ и $O_{2}$ совпадают (рис. г).
Аналогично, для всех последующих нечетных «минимумов» ($m$ - номер минимума):
$I_{ \pm m} = A_{ \pm m}^{2} = 8R_{m}^{2} = \frac{2I_{0}}{(m \pi)^{2}}$,
а для всех четных $I_{ \pm m} = 0$.
