Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16141
2023-08-16 
Плоская световая волна с длиной $\lambda$ и интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на экран (рис.). Перед экраном на некотором расстоянии $b$ устанавливают стеклянную пластинку радиуса $R$ с показателем преломления $n$. Найти расстояние $b$ и толщину пластинки $d$, при которых интенсивность дифракционной картине в точке $P$: 1) максимальна; 2) равна нулю.
Решение:
Для точки $P$ пластинка перекрывает $m = \frac{R^{2}}{ \lambda b}$ зон Френеля и вносит дополнительную разность фаз $\Delta \psi = k(n - 1) d = \frac{2 \pi d}{ \lambda} (n - 1)$. Следовательно, варьируя $b$ и $d$, можно получить любые значения $m$ и $\Delta \psi$.
Пусть, например, пластинка закрывает $m$ зон Френеля. Если в отсутствие пластинки комплексная амплитуда поля $\vec{U}(P)$ представима в виде суммы (на рис. $m = 1,5$):
$\vec{U}(P) = \vec{OO}_{m} + \vec{O_{m}O_{ \infty}} = \vec{OO}_{ \infty}$,
то дополнительную разность фаз можно учесть, повернув вектор $\vec{OO}_{m}$ против часовой стрелки на угол $\Delta \psi$ (конец вектора $\vec{OO}_{m}^{ \prime}$ будет лежать на окружности радиуса $| \vec{OO}_{m} | = | \vec{OO}_{m}^{ \prime}|$). Поэтому после установки пластинки амплитуда поля $\vec{U}^{ \prime} (P)$ равна:
$\vec{U}^{ \prime}(P) = \vec{OO}_{m}^{ \prime} + \vec{O_{m}O_{ \infty}}$.
1) Амплитуда $\vec{U}^{ \prime}(P)$ будет максимальной, если, во-первых, векторы $\vec{OO}_{m}$ и $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ сонаправлены, и во-вторых, длина вектора $\vec{OO}_{m}$ максимальна (длина вектора $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ при малых $m$ не зависит от $m$ и всегда равна $| \vec{OO}_{ \infty} | = \sqrt{I_{0}}$).
Следовательно,
$m = 1, 3, 5, \cdots , 2l +1, \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
$|OO_{m}| = 2|OO_{ \infty}| = 2 \sqrt{I_{0}}$,
$\Delta \psi = \pi, 3 \pi, 5 \pi, \cdots , \pi (2q + 1), \cdots$
$(q = 0,1,2,3, \cdots)$.
Отсюда
$b = \frac{R^{2}}{ \lambda m} = \frac{R^{2}}{ \lambda (2l + 1)} (l = 0,1,2, \cdots)$,
$d = \frac{ \lambda (2q + 1)}{2(n - 1)} (q = 0,1,2, \cdots)$,
$I_{max} = (2 \sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^{2} = 9I_{0}$.
2) Амплитуда $\vec{U}^{ \prime}(P)$ будет минимальна (равна нулю), если, во-первых, векторы $\vec{OO}_{m}^{ \prime}$ и $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ направлены в противоположные стороны и, во-вторых, их длины равны. На рис. показаны два возможных случая:
$m_{1} = \frac{1}{3}, 2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, \cdots , \left ( \frac{1}{3} + 2l \right ), \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
$m_{2} = 1 \frac{2}{3}, 3 \frac{2}{3}, 5 \frac{2}{3}, \cdots , \left ( 1 \frac{2}{3} + 2l \right ), \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
(треугольники $OO_{m1}O_{ \infty}$ и$OO_{m2}O_{ \infty}$ - равносторонние). Отсюда
$\Delta \psi_{1} = \frac{5}{3} \pi + 2 \pi q (q = 0, 1, 2, \cdots)$,
$\Delta \psi_{2} = \frac{1}{3} \pi + 2 \pi q (q = 0, 1, 2, \cdots)$,
Плоская световая волна с длиной $\lambda$ и интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на экран (рис.). Перед экраном на некотором расстоянии $b$ устанавливают стеклянную пластинку радиуса $R$ с показателем преломления $n$. Найти расстояние $b$ и толщину пластинки $d$, при которых интенсивность дифракционной картине в точке $P$: 1) максимальна; 2) равна нулю.
Решение:
Для точки $P$ пластинка перекрывает $m = \frac{R^{2}}{ \lambda b}$ зон Френеля и вносит дополнительную разность фаз $\Delta \psi = k(n - 1) d = \frac{2 \pi d}{ \lambda} (n - 1)$. Следовательно, варьируя $b$ и $d$, можно получить любые значения $m$ и $\Delta \psi$.
Пусть, например, пластинка закрывает $m$ зон Френеля. Если в отсутствие пластинки комплексная амплитуда поля $\vec{U}(P)$ представима в виде суммы (на рис. $m = 1,5$):
$\vec{U}(P) = \vec{OO}_{m} + \vec{O_{m}O_{ \infty}} = \vec{OO}_{ \infty}$,
то дополнительную разность фаз можно учесть, повернув вектор $\vec{OO}_{m}$ против часовой стрелки на угол $\Delta \psi$ (конец вектора $\vec{OO}_{m}^{ \prime}$ будет лежать на окружности радиуса $| \vec{OO}_{m} | = | \vec{OO}_{m}^{ \prime}|$). Поэтому после установки пластинки амплитуда поля $\vec{U}^{ \prime} (P)$ равна:
$\vec{U}^{ \prime}(P) = \vec{OO}_{m}^{ \prime} + \vec{O_{m}O_{ \infty}}$.
1) Амплитуда $\vec{U}^{ \prime}(P)$ будет максимальной, если, во-первых, векторы $\vec{OO}_{m}$ и $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ сонаправлены, и во-вторых, длина вектора $\vec{OO}_{m}$ максимальна (длина вектора $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ при малых $m$ не зависит от $m$ и всегда равна $| \vec{OO}_{ \infty} | = \sqrt{I_{0}}$).
Следовательно,
$m = 1, 3, 5, \cdots , 2l +1, \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
$|OO_{m}| = 2|OO_{ \infty}| = 2 \sqrt{I_{0}}$,
$\Delta \psi = \pi, 3 \pi, 5 \pi, \cdots , \pi (2q + 1), \cdots$
$(q = 0,1,2,3, \cdots)$.
Отсюда
$b = \frac{R^{2}}{ \lambda m} = \frac{R^{2}}{ \lambda (2l + 1)} (l = 0,1,2, \cdots)$,
$d = \frac{ \lambda (2q + 1)}{2(n - 1)} (q = 0,1,2, \cdots)$,
$I_{max} = (2 \sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^{2} = 9I_{0}$.
2) Амплитуда $\vec{U}^{ \prime}(P)$ будет минимальна (равна нулю), если, во-первых, векторы $\vec{OO}_{m}^{ \prime}$ и $\vec{O_{m}O_{ \infty}}$ направлены в противоположные стороны и, во-вторых, их длины равны. На рис. показаны два возможных случая:
$m_{1} = \frac{1}{3}, 2 \frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}, \cdots , \left ( \frac{1}{3} + 2l \right ), \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
$m_{2} = 1 \frac{2}{3}, 3 \frac{2}{3}, 5 \frac{2}{3}, \cdots , \left ( 1 \frac{2}{3} + 2l \right ), \cdots (l = 0, 1, 2, \cdots)$,
(треугольники $OO_{m1}O_{ \infty}$ и$OO_{m2}O_{ \infty}$ - равносторонние). Отсюда
$\Delta \psi_{1} = \frac{5}{3} \pi + 2 \pi q (q = 0, 1, 2, \cdots)$,
$\Delta \psi_{2} = \frac{1}{3} \pi + 2 \pi q (q = 0, 1, 2, \cdots)$,
