Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16119
2023-08-10 
В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны $\lambda = 0,5 мкм$ падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны $R_{1} = 1 м$, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны $R_{2} = 2 м$. Определите радиус $r_{3}$ третьего темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете.
Решение:
Из треугольника 123:
$r^{2} = R_{1}^{2} - [R_{1} - (d + x)]^{2} = R_{1}^{2} - R_{1}^{2} + 2R_{1} (d + x) - (d + x) = 2R_{1}(d + x)$.
Из треугольника 456:
$r^{2} = R_{2}^{2} - (R_{2} - x)^{2} = R_{2}^{2} - R_{2}^{2} + 2R_{2}x - x^{2} =2R_{2}x$.
Приравняем правые части.
$2R_{1} (d + x) = 2R_{2}x. R_{1}d + R_{1}x = R_{2}x$.
$R_{1}d=R_{2}x - R_{1}x = x(R_{2} - R_{1})$.
$x = \frac{R_{1}d}{R_{2} - R_{1}}$.
Подставим полученное выражение в формулу для радиуса кольца Ньютона.
$r^{2} = 2R_{2}x = 2R_{2} \frac{R_{1}d}{R_{2} - R_{1}}$.
Т.е. для определения радиуса кольца необходимо знать толщину прослойки $d$ между линзами. Ее можно определить из разности хода лучей. Т.к. в задаче рассматривается радиус темного кольца Ньютона, то должно выполняться условие минимума при интерференции.
$\Delta = (2k +1) \frac{ \lambda}{2}$.
Кроме того, в отраженном свете один луч отстает от другого на расстояние, равное
$\Delta = 2dn + \frac{ \lambda}{2}$.
Приравниваем.
$2dn + \frac{ \lambda}{2} = (2k + 1) \frac{ \lambda}{2}. 2dn + \frac{ \lambda}{2} = \frac{2k \lambda}{2} + \frac{ \lambda}{2}$.
$2dn = k \lambda$.
$d = \frac{ k \lambda}{2n}$.
Тогда радиус $r_{3}$ третьего темного кольца Ньютона:
$r_{3} = \sqrt{2R_{2} \frac{R_{1}}{R_{2} - R_{1}} \frac{k \lambda }{2n} } = \sqrt{ \frac{k \lambda R_{1}R_{2}}{(R_{2} - R_{1})n} }$.
$r_{3} = \sqrt{ \frac{3 \cdot 5 \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2}{(2 - 1) \cdot 1}} = 1,73 \cdot 10^{-3} (м) = 1,73 (мм)$.
Ответ: $r_{3} = 1,73 мм$
В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны $\lambda = 0,5 мкм$ падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны $R_{1} = 1 м$, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны $R_{2} = 2 м$. Определите радиус $r_{3}$ третьего темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете.
Решение:
Из треугольника 123:
$r^{2} = R_{1}^{2} - [R_{1} - (d + x)]^{2} = R_{1}^{2} - R_{1}^{2} + 2R_{1} (d + x) - (d + x) = 2R_{1}(d + x)$.
Из треугольника 456:
$r^{2} = R_{2}^{2} - (R_{2} - x)^{2} = R_{2}^{2} - R_{2}^{2} + 2R_{2}x - x^{2} =2R_{2}x$.
Приравняем правые части.
$2R_{1} (d + x) = 2R_{2}x. R_{1}d + R_{1}x = R_{2}x$.
$R_{1}d=R_{2}x - R_{1}x = x(R_{2} - R_{1})$.
$x = \frac{R_{1}d}{R_{2} - R_{1}}$.
Подставим полученное выражение в формулу для радиуса кольца Ньютона.
$r^{2} = 2R_{2}x = 2R_{2} \frac{R_{1}d}{R_{2} - R_{1}}$.
Т.е. для определения радиуса кольца необходимо знать толщину прослойки $d$ между линзами. Ее можно определить из разности хода лучей. Т.к. в задаче рассматривается радиус темного кольца Ньютона, то должно выполняться условие минимума при интерференции.
$\Delta = (2k +1) \frac{ \lambda}{2}$.
Кроме того, в отраженном свете один луч отстает от другого на расстояние, равное
$\Delta = 2dn + \frac{ \lambda}{2}$.
Приравниваем.
$2dn + \frac{ \lambda}{2} = (2k + 1) \frac{ \lambda}{2}. 2dn + \frac{ \lambda}{2} = \frac{2k \lambda}{2} + \frac{ \lambda}{2}$.
$2dn = k \lambda$.
$d = \frac{ k \lambda}{2n}$.
Тогда радиус $r_{3}$ третьего темного кольца Ньютона:
$r_{3} = \sqrt{2R_{2} \frac{R_{1}}{R_{2} - R_{1}} \frac{k \lambda }{2n} } = \sqrt{ \frac{k \lambda R_{1}R_{2}}{(R_{2} - R_{1})n} }$.
$r_{3} = \sqrt{ \frac{3 \cdot 5 \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2}{(2 - 1) \cdot 1}} = 1,73 \cdot 10^{-3} (м) = 1,73 (мм)$.
Ответ: $r_{3} = 1,73 мм$
