Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16108
2023-07-28 
Найти силу давления $F$ плоской световой волны на шар радиусом $R$, если интенсивность волны равна $I_{0}$, а поверхность шара рассеивает падающее излучение равномерно по всем
направлениям.
Решение:
Рассмотрим сначала случай, когда плоская световая волна падает на пластинку площадью $\sigma$ под углом $\theta$ (рис.).
Так как интенсивность световой волны равна $I_{0}$, то среднее значение объемной плотности энергии электромагнитного поля:
$w = \frac{I_{0}}{c}$,
где $c$ - скорость волны, а среднее значение объемной плотности импульса:
$w_{P} = \frac{I_{0}}{c^{2}} = \frac{w}{c}$.
Следовательно, за время $\Delta t$ волна «приносит» к пластинке импульс
$\Delta \vec{P} = w_{p} c \Delta t ( \sigma \cos \theta ) \cdot \vec{e}_{I} = \frac{I_{0}}{c} \Delta t \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
где $\vec{e}_{I}$ - единичный вектор в направлении распространения света.
Если свет, падающий на пластинку, полностью поглощается, то на пластинку будет действовать сила
$\vec{f}_{0} = \frac{ \Delta \vec{P}}{ \Delta t} = \frac{I_{0}}{c} \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
проекции которой на направления $\vec{n}$ и $\vec{ \tau}$ равны соответственно
$f_{n} = f_{0} \cos \theta$ и $f_{ \tau} = f_{0} \sin \theta$,
а давление света на пластинку:
$p = \frac{f_{n}}{ \sigma} = \frac{I_{0}}{c} \cos^{2} \theta$.
При частичном отражении света от пластинки под углом $\theta$ ($I_{r} = \rho I_{0}, \rho \leq 1$ - коэффициент отражения по интенсивности) пластинка будет получать дополнительный импульс («импульс отдачи»), причем
$f_{r} = rf_{0}$.
В результате сила давления $\vec{f}$ (см. рис.) равна
$\vec{f} = \vec{f}_{0} + \vec{f}_{r}$,
а формулы для проекций этой силы на различные направления имеют вид:
$f_{n} = ( \vec{f}, \vec{e}_{n} ) = (1 + \rho ) \frac{I_{0}}{c} \sigma \cos^{2} \theta$,
$f_{ \tau} = ( \vec{f}, \vec{e}_{ \tau} ) = (1 - \rho ) \frac{I_{0}}{c} \sigma \frac{ \sin 2 \theta}{2}$.
В случае рассеяния пластинкой падающего на нее света равномерно по всем направлениям сила $\vec{f}_{r}$ (в силу симметрии геометрии рассеяния) будет направлена вдоль нормали $\vec{n}$. Найдем величину этой силы.
Пусть пластинка площадью $\sigma$ рассеивает за время $\Delta t$ энергию $\Delta W$ равномерно по всем направлениям в телесном угле $2 \pi$ (левое полупространство на рис.). В направлении ($\theta, \phi$) в телесный угол $d \Omega = \sin \theta \cdot d \theta \cdot d \phi$ за это время «уносится» импульс
$d \vec{P}( \theta , \phi ) = \frac{ \Delta W}{c \Delta t} \frac{ d \Omega}{2 \pi} \vec{e}_{ \theta}$.
Суммируя проекции $d \vec{P}$ на направление нормали $\vec{n}$, получим:
$\Delta P = \int_{ \underset{( \phi )}{0} }^{2 \pi} \int_{ \underset{( \theta )}{0}}^{ \frac{ \pi }{2} } dP \cdot \cos \theta = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \Delta W }{c} \sin \theta \cdot \cos \theta \cdot d \theta = \frac{1}{2} \frac{ \Delta W}{c}$.
Следовательно, при рассеянии света сила «отдачи» равна
$f_{r} = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = \frac{1}{2} \frac{ \Delta W}{c \Delta t}$
и направлена вдоль нормали $\vec{n}$ к пластинке.
Теперь для получения ответа на вопрос, сформулированный в задаче, рассмотрим элемент поверхности шара, ориентированный под углом $\theta$ к вектору $\vec{I}_{0}$ (см. рис.). Площадь этого элемента равна
$d \sigma = R^{2} \sin \theta \cdot d \theta \cdot d \phi$.
Так как элементом $d \sigma$ за время $\Delta t$ рассеивается энергия $\Delta W = I_{0} \cdot d \sigma \cdot \cos \theta \cdot \Delta t$, то на него действует сила:
$d \vec{f}= d \vec{f}_{0} + d \vec{f}_{r}$,
причем
$d \vec{f}_{0} = \frac{I_{0}}{c} d \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
$d \vec{f}_{r} = \frac{1}{2} \frac{I_{0}}{c} d \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{n}$.
Очевидно, что результирующая всех $d \vec{f}_{0}$ равна
$\vec{F}_{0} = \frac{I_{0}}{c} \pi R^{2} \vec{e}_{I}$.
Силу $\vec{F}_{r}$ найдем, суммируя проекции сил $d \vec{f}_{r}$ на направление $I_{0}$ по всем элементам освещенной поверхности:
$F_{r} = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2}} df_{r} \cdot \cos \theta = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi}{2}} \frac{I_{0}}{2c} R^{2} \sin \theta \cdot \cos^{2} \theta \cdot d \theta \cdot d \phi = \frac{1}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
Таким образом,
$F = F_{0} + F_{r} = \frac{4}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
Ответ: $F = \frac{4}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
Найти силу давления $F$ плоской световой волны на шар радиусом $R$, если интенсивность волны равна $I_{0}$, а поверхность шара рассеивает падающее излучение равномерно по всем
направлениям.
Решение:
Рассмотрим сначала случай, когда плоская световая волна падает на пластинку площадью $\sigma$ под углом $\theta$ (рис.).
Так как интенсивность световой волны равна $I_{0}$, то среднее значение объемной плотности энергии электромагнитного поля:
$w = \frac{I_{0}}{c}$,
где $c$ - скорость волны, а среднее значение объемной плотности импульса:
$w_{P} = \frac{I_{0}}{c^{2}} = \frac{w}{c}$.
Следовательно, за время $\Delta t$ волна «приносит» к пластинке импульс
$\Delta \vec{P} = w_{p} c \Delta t ( \sigma \cos \theta ) \cdot \vec{e}_{I} = \frac{I_{0}}{c} \Delta t \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
где $\vec{e}_{I}$ - единичный вектор в направлении распространения света.
Если свет, падающий на пластинку, полностью поглощается, то на пластинку будет действовать сила
$\vec{f}_{0} = \frac{ \Delta \vec{P}}{ \Delta t} = \frac{I_{0}}{c} \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
проекции которой на направления $\vec{n}$ и $\vec{ \tau}$ равны соответственно
$f_{n} = f_{0} \cos \theta$ и $f_{ \tau} = f_{0} \sin \theta$,
а давление света на пластинку:
$p = \frac{f_{n}}{ \sigma} = \frac{I_{0}}{c} \cos^{2} \theta$.
При частичном отражении света от пластинки под углом $\theta$ ($I_{r} = \rho I_{0}, \rho \leq 1$ - коэффициент отражения по интенсивности) пластинка будет получать дополнительный импульс («импульс отдачи»), причем
$f_{r} = rf_{0}$.
В результате сила давления $\vec{f}$ (см. рис.) равна
$\vec{f} = \vec{f}_{0} + \vec{f}_{r}$,
а формулы для проекций этой силы на различные направления имеют вид:
$f_{n} = ( \vec{f}, \vec{e}_{n} ) = (1 + \rho ) \frac{I_{0}}{c} \sigma \cos^{2} \theta$,
$f_{ \tau} = ( \vec{f}, \vec{e}_{ \tau} ) = (1 - \rho ) \frac{I_{0}}{c} \sigma \frac{ \sin 2 \theta}{2}$.
В случае рассеяния пластинкой падающего на нее света равномерно по всем направлениям сила $\vec{f}_{r}$ (в силу симметрии геометрии рассеяния) будет направлена вдоль нормали $\vec{n}$. Найдем величину этой силы.
Пусть пластинка площадью $\sigma$ рассеивает за время $\Delta t$ энергию $\Delta W$ равномерно по всем направлениям в телесном угле $2 \pi$ (левое полупространство на рис.). В направлении ($\theta, \phi$) в телесный угол $d \Omega = \sin \theta \cdot d \theta \cdot d \phi$ за это время «уносится» импульс
$d \vec{P}( \theta , \phi ) = \frac{ \Delta W}{c \Delta t} \frac{ d \Omega}{2 \pi} \vec{e}_{ \theta}$.
Суммируя проекции $d \vec{P}$ на направление нормали $\vec{n}$, получим:
$\Delta P = \int_{ \underset{( \phi )}{0} }^{2 \pi} \int_{ \underset{( \theta )}{0}}^{ \frac{ \pi }{2} } dP \cdot \cos \theta = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \Delta W }{c} \sin \theta \cdot \cos \theta \cdot d \theta = \frac{1}{2} \frac{ \Delta W}{c}$.
Следовательно, при рассеянии света сила «отдачи» равна
$f_{r} = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = \frac{1}{2} \frac{ \Delta W}{c \Delta t}$
и направлена вдоль нормали $\vec{n}$ к пластинке.
Теперь для получения ответа на вопрос, сформулированный в задаче, рассмотрим элемент поверхности шара, ориентированный под углом $\theta$ к вектору $\vec{I}_{0}$ (см. рис.). Площадь этого элемента равна
$d \sigma = R^{2} \sin \theta \cdot d \theta \cdot d \phi$.
Так как элементом $d \sigma$ за время $\Delta t$ рассеивается энергия $\Delta W = I_{0} \cdot d \sigma \cdot \cos \theta \cdot \Delta t$, то на него действует сила:
$d \vec{f}= d \vec{f}_{0} + d \vec{f}_{r}$,
причем
$d \vec{f}_{0} = \frac{I_{0}}{c} d \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{I}$,
$d \vec{f}_{r} = \frac{1}{2} \frac{I_{0}}{c} d \sigma \cos \theta \cdot \vec{e}_{n}$.
Очевидно, что результирующая всех $d \vec{f}_{0}$ равна
$\vec{F}_{0} = \frac{I_{0}}{c} \pi R^{2} \vec{e}_{I}$.
Силу $\vec{F}_{r}$ найдем, суммируя проекции сил $d \vec{f}_{r}$ на направление $I_{0}$ по всем элементам освещенной поверхности:
$F_{r} = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2}} df_{r} \cdot \cos \theta = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{ \frac{ \pi}{2}} \frac{I_{0}}{2c} R^{2} \sin \theta \cdot \cos^{2} \theta \cdot d \theta \cdot d \phi = \frac{1}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
Таким образом,
$F = F_{0} + F_{r} = \frac{4}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
Ответ: $F = \frac{4}{3} \pi R^{2} \frac{I_{0}}{c}$.
