Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16105
2023-07-28 
Телескопическая система образована двумя стеклянными шарами, расстояние между центрами которых равно $L = 9 см$. Радиус большого шара равен $R_{1} = 5 см;. Найти радиус $R_{2}$ малого шара и увеличение системы, если объективом служит большой шар. Показатель преломления стекла $n = 1,5$.
Решение:
Система из двух шаров будет телескопической, если задний фокус первого шара совпадает с передним фокусом второго.
Согласно $\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} - \frac{d}{n} \Phi_{1} \Phi_{2}$ оптическая сила шара (как толстой линзы) равна
$\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} - \frac{2R}{n} \Phi_{1} \Phi_{2}$,
где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ - оптические силы преломляющих поверхностей:
$\Phi_{1} = \frac{n - 1}{R}; \Phi_{2} = \frac{1 -n}{-R} = \frac{n - 1}{R} = \Phi_{1}$.
Поэтому
$\Phi = \frac{2(n-1)}{R} - \frac{2R(n - 1)^{2}}{nR^{2}} = \frac{2(n-1)}{nR}$.
В соответствии с $x_{O_{1}} = - \frac{d}{n} \frac{ \Phi_{2}}{ \Phi}, x_{O_{2}} = \frac{d}{n} \frac{ \Phi_{1}}{ \Phi}$ и $f_{1} \equiv x_{F_{1}} = - \frac{n_{1}}{ \Phi} = - \frac{R}{n - 1}, f_{2} \equiv x_{F_{2}} = \frac{n_{2}}{ \Phi} = \frac{nR}{n - 1}$ расстояния от каждой из вершин сферической поверхности до ближайшего фокуса равны соответственно:
$x_{1} = - \frac{2R_{1}}{n} \frac{ \Phi_{1}}{ \Phi} + \frac{1}{ \Phi} = \frac{nR_{1}}{2(n - 1)} \left ( 1 - \frac{2R_{1}}{n} \frac{n - 1}{R} \right ) = \frac{R_{1}(2 - n)}{2(n - 1)}$
и $x_{2} = \frac{R_{2}(2 - n)}{2(n - 1)}$.
Таким образом, расстояние $L$ между центрами шаров равно
$L = R_{1} + x_{1} + x_{2} + R_{2} = \frac{n(R_{1} + R_{2})}{2(n - 1)}$.
Отсюда радиус малого шара равен
$R_{2} = \frac{2L(n - 1)}{n} - R_{1} = 1 см$,
а искомое увеличение телескопической системы:
$\Gamma = \frac{f_{1}}{f_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} = 5$.
Ответ: $R_{2} = 1 см, \Gamma = 5$.
Телескопическая система образована двумя стеклянными шарами, расстояние между центрами которых равно $L = 9 см$. Радиус большого шара равен $R_{1} = 5 см;. Найти радиус $R_{2}$ малого шара и увеличение системы, если объективом служит большой шар. Показатель преломления стекла $n = 1,5$.
Решение:
Система из двух шаров будет телескопической, если задний фокус первого шара совпадает с передним фокусом второго.
Согласно $\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} - \frac{d}{n} \Phi_{1} \Phi_{2}$ оптическая сила шара (как толстой линзы) равна
$\Phi = \Phi_{1} + \Phi_{2} - \frac{2R}{n} \Phi_{1} \Phi_{2}$,
где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ - оптические силы преломляющих поверхностей:
$\Phi_{1} = \frac{n - 1}{R}; \Phi_{2} = \frac{1 -n}{-R} = \frac{n - 1}{R} = \Phi_{1}$.
Поэтому
$\Phi = \frac{2(n-1)}{R} - \frac{2R(n - 1)^{2}}{nR^{2}} = \frac{2(n-1)}{nR}$.
В соответствии с $x_{O_{1}} = - \frac{d}{n} \frac{ \Phi_{2}}{ \Phi}, x_{O_{2}} = \frac{d}{n} \frac{ \Phi_{1}}{ \Phi}$ и $f_{1} \equiv x_{F_{1}} = - \frac{n_{1}}{ \Phi} = - \frac{R}{n - 1}, f_{2} \equiv x_{F_{2}} = \frac{n_{2}}{ \Phi} = \frac{nR}{n - 1}$ расстояния от каждой из вершин сферической поверхности до ближайшего фокуса равны соответственно:
$x_{1} = - \frac{2R_{1}}{n} \frac{ \Phi_{1}}{ \Phi} + \frac{1}{ \Phi} = \frac{nR_{1}}{2(n - 1)} \left ( 1 - \frac{2R_{1}}{n} \frac{n - 1}{R} \right ) = \frac{R_{1}(2 - n)}{2(n - 1)}$
и $x_{2} = \frac{R_{2}(2 - n)}{2(n - 1)}$.
Таким образом, расстояние $L$ между центрами шаров равно
$L = R_{1} + x_{1} + x_{2} + R_{2} = \frac{n(R_{1} + R_{2})}{2(n - 1)}$.
Отсюда радиус малого шара равен
$R_{2} = \frac{2L(n - 1)}{n} - R_{1} = 1 см$,
а искомое увеличение телескопической системы:
$\Gamma = \frac{f_{1}}{f_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} = 5$.
Ответ: $R_{2} = 1 см, \Gamma = 5$.
