Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16101
2023-07-28 
Найти с помощью геометрических построений положения фокусов и главных плоскостей для толстой выпукловогнутой линзы толщиной $d = 4 см$ с показателем преломления $n = 1,5$, если оптические силы преломляющих поверхностей линзы в воздухе равны $\Phi_{1} = 50 дптр, \Phi_{2} =-50 дптр$ (рис.).
Решение:
Так как по условию $\Phi_{1} = - \Phi_{2}$, то в соответствии с $\Phi = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$ $R_{1} = R_{2} = \frac{n - 1}{ \Phi_{1}} = 1 см$, а в соответствии с $f_{1} \equiv x_{F_{1}} = - \frac{n_{1}}{ \Phi} = - \frac{R}{n - 1}, f_{2} \equiv x_{F_{2}} = \frac{n_{2}}{ \Phi} = \frac{nR}{n - 1}$ $f_{1} = f_{2}^{ \prime} = - \frac{n_{0}}{ \Phi_{1}} = 2 см, f_{1}^{ \prime} = f_{2} = \frac{n_{0}}{ \Phi_{1}} = 3 см$. Положение фокусов сферических преломляющих поверхностей 1 и 2 показано на рис.
Положение переднего $F$ и заднего $F^{ \prime}$ фокусов линзы найдем с помощью лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси $OO^{ \prime}$. Положение главных плоскостей $H$ и $H^{ \prime}$ будем искать, исходя из того, что они - сопряженные, а коэффициент поперечного увеличения для них равен 1.
Направим луч 1 (рис.) параллельно главной оптической оси. После преломления на поверхности 2 он переходит в луч $1^{ \prime}$, который как бы выходит из фокуса $F_{2}$. Параллельно лучу $1^{ \prime}$ построим луч $2^{ \prime}$, который пересекает оптическую ось в фокусе $F_{1}^{ \prime}$ и после преломления на поверхности 1 переходит в луч $2^{ \prime \prime}$, параллельный оптической оси. Так как лучи $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ - параллельные, поэтому
а) луч $1^{ \prime \prime}$ пересекается с лучом $2^{ \prime \prime}$ в фокальной плоскости $F_{1}$, а с главной оптической осью - в фокусе $F$ линзы;
б) луч 2 (а точнее - его продолжение) пересекается с оптической осью в фокусе $F^{ \prime}$, с продолжением луча 1 - в фокальной плоскости $F_{2}^{ \prime}$, а с продолжением луча $2^{ \prime \prime}$ - в главной плоскости $H^{ \prime}$. Таким образом, плоскости $H^{ \prime}$ и $F_{2}^{ \prime}$ совпадают. Совпадают и плоскости $H$ и $F_{1}$, поскольку им принадлежит точка пересечения продолжения луча 1 и луча $1^{ \prime \prime}$.
Для иллюстрации возможности использования других лучей, на рис. показан ход луча 3.
Относительно вершины $O_{1}$ координаты найденных точек $F, H, H^{ \prime}$ и $F^{ \prime}$ равны соответственно - 3,5 см, - 2 см, + 2 см и + 3,5 см. Эти результаты подтверждаются расчетами по соответствующим формулам.
Найти с помощью геометрических построений положения фокусов и главных плоскостей для толстой выпукловогнутой линзы толщиной $d = 4 см$ с показателем преломления $n = 1,5$, если оптические силы преломляющих поверхностей линзы в воздухе равны $\Phi_{1} = 50 дптр, \Phi_{2} =-50 дптр$ (рис.).
Решение:
Так как по условию $\Phi_{1} = - \Phi_{2}$, то в соответствии с $\Phi = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$ $R_{1} = R_{2} = \frac{n - 1}{ \Phi_{1}} = 1 см$, а в соответствии с $f_{1} \equiv x_{F_{1}} = - \frac{n_{1}}{ \Phi} = - \frac{R}{n - 1}, f_{2} \equiv x_{F_{2}} = \frac{n_{2}}{ \Phi} = \frac{nR}{n - 1}$ $f_{1} = f_{2}^{ \prime} = - \frac{n_{0}}{ \Phi_{1}} = 2 см, f_{1}^{ \prime} = f_{2} = \frac{n_{0}}{ \Phi_{1}} = 3 см$. Положение фокусов сферических преломляющих поверхностей 1 и 2 показано на рис.
Положение переднего $F$ и заднего $F^{ \prime}$ фокусов линзы найдем с помощью лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси $OO^{ \prime}$. Положение главных плоскостей $H$ и $H^{ \prime}$ будем искать, исходя из того, что они - сопряженные, а коэффициент поперечного увеличения для них равен 1.
Направим луч 1 (рис.) параллельно главной оптической оси. После преломления на поверхности 2 он переходит в луч $1^{ \prime}$, который как бы выходит из фокуса $F_{2}$. Параллельно лучу $1^{ \prime}$ построим луч $2^{ \prime}$, который пересекает оптическую ось в фокусе $F_{1}^{ \prime}$ и после преломления на поверхности 1 переходит в луч $2^{ \prime \prime}$, параллельный оптической оси. Так как лучи $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ - параллельные, поэтому
а) луч $1^{ \prime \prime}$ пересекается с лучом $2^{ \prime \prime}$ в фокальной плоскости $F_{1}$, а с главной оптической осью - в фокусе $F$ линзы;
б) луч 2 (а точнее - его продолжение) пересекается с оптической осью в фокусе $F^{ \prime}$, с продолжением луча 1 - в фокальной плоскости $F_{2}^{ \prime}$, а с продолжением луча $2^{ \prime \prime}$ - в главной плоскости $H^{ \prime}$. Таким образом, плоскости $H^{ \prime}$ и $F_{2}^{ \prime}$ совпадают. Совпадают и плоскости $H$ и $F_{1}$, поскольку им принадлежит точка пересечения продолжения луча 1 и луча $1^{ \prime \prime}$.
Для иллюстрации возможности использования других лучей, на рис. показан ход луча 3.
Относительно вершины $O_{1}$ координаты найденных точек $F, H, H^{ \prime}$ и $F^{ \prime}$ равны соответственно - 3,5 см, - 2 см, + 2 см и + 3,5 см. Эти результаты подтверждаются расчетами по соответствующим формулам.
