Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 161
2014-05-31 
Тело начинает двигаться без начальной скорости с постоянный по величине и направлению ускорением $a$ . В некоторый момент ускорение меняется на противоположное. Найдите путь, пройденный телом за время $t_{0}$ после начала движения, если перемещение тела за время $t_{0}$ равно нулю.
Решение:
Тело будет двигаться по прямой, направленной вдоль вектора $\bar{a}$. Направим ось х вдоль этой прямой, а точку O начала отсчета на оси х совместим с положением тела в начальный момент времени t = 0. Координата х тела - это и есть перемещение.
Движение тела можно разбить на три этапа:
1) равноускоренное движение из точки О с координатой $x_{0}$ и в направлении оси х, заканчивающееся в некоторой точке А с координатой $x_{A}$, в которой ускорение меняется на противоположное.
2) равнозамедленное движение в прежнем направлении, заканчивающееся в некоторой точке В с координатой $x_{B}$ , в которой тело останавливается;
3) равноускоренное движение, направленное к началу координат
За время $t_{0}$ тело проходит путь
$s=2x_{B}$ . (1)
Таким образом, нахождение пути s сводится к определению координаты $x_{B}$ точки В.
Па первом этапе движение подчиняется следующим уравнениям
$x = at^{2}/2, v = at$.
Обозначая через $t_{A}$ момент времени прохождения телом точки А, через координаты $x_{A}$ и скорости $v_{A}$ в этой точке можем написать
$x_{A}=at^{2}_{A}/2$, (2)
$v_{A}=at_{A}$. (3)
На втором этапе движение описывается формулами
$x(t)=x_{A}+v_{A}(t-t_{A})-a(t-t_{A})^{2}/2$, (4)
$v(t)=v_{A}-a(t-t_{A})$. (5)
Так как в момент $t_{B}$ скорость тела $v_{B}=0$, из уравнения (5) находим
$t_{B}=\frac{v_{A}}{a}+t_{A}=2t_{A}$. (6)
С учетом этого равенства, а также равенств (2), (3) из уравнения
() получаем
$x_{B}=at^{2}_{A}$. (7)
Па третьем этапе движение тела описывается уравнениями
$x(t)=x_{B}-a(t-x_{B})^{2}/2$, (8)
$v(t)=-a(t-x_{B})$. (9)
В момент времени $t = t_{0}$ тело имеет координату $x_{0} = 0$. Из уравнения (8) с учетом равенств (6) и (7) получаем уравнение
$t^{2}_{A}-2t_{0}t_{A}+t^{2}_{0}/2 = 0$.
Нас интересует лишь тот корень, который удовлетворяет условию
$t_{A}=t_{0}$ , т. е.
$t_{A}=t_{0}(1-1/\sqrt{2})$.
Подставляя это выражение в (7), с помощью равенства (1) получаем
$s=at^{2}_{0}(3-2 \sqrt{2})$.
Тело начинает двигаться без начальной скорости с постоянный по величине и направлению ускорением $a$ . В некоторый момент ускорение меняется на противоположное. Найдите путь, пройденный телом за время $t_{0}$ после начала движения, если перемещение тела за время $t_{0}$ равно нулю.
Решение:
Тело будет двигаться по прямой, направленной вдоль вектора $\bar{a}$. Направим ось х вдоль этой прямой, а точку O начала отсчета на оси х совместим с положением тела в начальный момент времени t = 0. Координата х тела - это и есть перемещение.
Движение тела можно разбить на три этапа:
1) равноускоренное движение из точки О с координатой $x_{0}$ и в направлении оси х, заканчивающееся в некоторой точке А с координатой $x_{A}$, в которой ускорение меняется на противоположное.
2) равнозамедленное движение в прежнем направлении, заканчивающееся в некоторой точке В с координатой $x_{B}$ , в которой тело останавливается;
3) равноускоренное движение, направленное к началу координат
За время $t_{0}$ тело проходит путь
$s=2x_{B}$ . (1)
Таким образом, нахождение пути s сводится к определению координаты $x_{B}$ точки В.
Па первом этапе движение подчиняется следующим уравнениям
$x = at^{2}/2, v = at$.
Обозначая через $t_{A}$ момент времени прохождения телом точки А, через координаты $x_{A}$ и скорости $v_{A}$ в этой точке можем написать
$x_{A}=at^{2}_{A}/2$, (2)
$v_{A}=at_{A}$. (3)
На втором этапе движение описывается формулами
$x(t)=x_{A}+v_{A}(t-t_{A})-a(t-t_{A})^{2}/2$, (4)
$v(t)=v_{A}-a(t-t_{A})$. (5)
Так как в момент $t_{B}$ скорость тела $v_{B}=0$, из уравнения (5) находим
$t_{B}=\frac{v_{A}}{a}+t_{A}=2t_{A}$. (6)
С учетом этого равенства, а также равенств (2), (3) из уравнения
() получаем
$x_{B}=at^{2}_{A}$. (7)
Па третьем этапе движение тела описывается уравнениями
$x(t)=x_{B}-a(t-x_{B})^{2}/2$, (8)
$v(t)=-a(t-x_{B})$. (9)
В момент времени $t = t_{0}$ тело имеет координату $x_{0} = 0$. Из уравнения (8) с учетом равенств (6) и (7) получаем уравнение
$t^{2}_{A}-2t_{0}t_{A}+t^{2}_{0}/2 = 0$.
Нас интересует лишь тот корень, который удовлетворяет условию
$t_{A}=t_{0}$ , т. е.
$t_{A}=t_{0}(1-1/\sqrt{2})$.
Подставляя это выражение в (7), с помощью равенства (1) получаем
$s=at^{2}_{0}(3-2 \sqrt{2})$.
