Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16096
2023-07-26 
Волновая функция $\Psi(x) = \sqrt{ \frac{2}{l}} \sin \frac{ \pi}{l} x$ описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной $l$. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале $\Delta l = 0,01l$ в двух случаях: 1) вблизи стенки ($0 \leq x \leq \Delta l$); 2) в средней части ящика $\left ( \frac{l}{2} - \frac{ \Delta l}{2} \leq x \leq \frac{1}{1} + \frac{ \Delta l}{2} \right )$.
Решение:
Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале $dx$ (от $x$ до $x + dx$), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
$dP = | \Psi (x) |^{2} dx$.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до $0,01l$:
$P = \frac{2}{l} \int_{0}^{0,01l} \sin^{2} \frac{ \pi}{l} xdx$.
Знак модуля опущен, так как $\Psi$ - функция в данном случае не является комплексной.
Так как $x$ изменяется в интервале $0 \leq x \leq 0,01l$ и, следовательно, $\frac{ \pi x}{l} \ll 1$, справедливо приближенное равенство
$\sin^{2} \frac{ \pi}{l} x \approx \left ( \frac{ \pi}{l} x \right )^{2}$.
С учетом этого выражение (1) примет вид
$w = \frac{2}{l} \int_{0}^{0,01l} \left ( \frac{ \pi}{l} x \right )^{2} dx = \frac{2 \pi^{2} }{l^{3}} \int_{0}^{ 0,01l} x^{2}dx$.
После интегрирования получим
$P = \frac{2}{3} \pi{2} \cdot 10^{-6} = 6,6 \cdot 10^{-6}$.
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале ($\Delta l = 0,01l$) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
$P = \left | \Psi \left ( \frac{l}{2} \right ) \right |^{2} \Delta l$,
или
$P = \frac{2}{l} \left ( \sin \frac{ \pi}{l} \frac{l}{2} \right )^{2} \Delta l = \frac{2}{l} \cdot 0,01l = 0,02$.
Волновая функция $\Psi(x) = \sqrt{ \frac{2}{l}} \sin \frac{ \pi}{l} x$ описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной $l$. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале $\Delta l = 0,01l$ в двух случаях: 1) вблизи стенки ($0 \leq x \leq \Delta l$); 2) в средней части ящика $\left ( \frac{l}{2} - \frac{ \Delta l}{2} \leq x \leq \frac{1}{1} + \frac{ \Delta l}{2} \right )$.
Решение:
Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале $dx$ (от $x$ до $x + dx$), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
$dP = | \Psi (x) |^{2} dx$.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до $0,01l$:
$P = \frac{2}{l} \int_{0}^{0,01l} \sin^{2} \frac{ \pi}{l} xdx$.
Знак модуля опущен, так как $\Psi$ - функция в данном случае не является комплексной.
Так как $x$ изменяется в интервале $0 \leq x \leq 0,01l$ и, следовательно, $\frac{ \pi x}{l} \ll 1$, справедливо приближенное равенство
$\sin^{2} \frac{ \pi}{l} x \approx \left ( \frac{ \pi}{l} x \right )^{2}$.
С учетом этого выражение (1) примет вид
$w = \frac{2}{l} \int_{0}^{0,01l} \left ( \frac{ \pi}{l} x \right )^{2} dx = \frac{2 \pi^{2} }{l^{3}} \int_{0}^{ 0,01l} x^{2}dx$.
После интегрирования получим
$P = \frac{2}{3} \pi{2} \cdot 10^{-6} = 6,6 \cdot 10^{-6}$.
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале ($\Delta l = 0,01l$) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
$P = \left | \Psi \left ( \frac{l}{2} \right ) \right |^{2} \Delta l$,
или
$P = \frac{2}{l} \left ( \sin \frac{ \pi}{l} \frac{l}{2} \right )^{2} \Delta l = \frac{2}{l} \cdot 0,01l = 0,02$.
