Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16095
2023-07-26 
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка $E_{кин} = 10 эВ$. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение:
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
$\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar$, (1)
где $\Delta x$ - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); $\Delta p_{x}$ - неопределенность импульса частицы (электрона); $\hbar$ - постоянная Планка.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры $l$, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с
неопределенностью
$\Delta x = \frac{l}{2}$.
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде $\frac{l}{2} \Delta p_{x} \geq \hbar$, откуда
$l \geq \frac{2 \hbar}{ \Delta p_{x}}$. (2)
Физически разумная неопределенность импульса $\Delta p_{x}$ во всяком случае не должна превышать значения самого импульса $p_{x}$, т.е. $\Delta p_{x} \leq p_{x}$. Импульс $p_{x}$ связан с кинетической энергией $E_{кин}$ соотношением $p_{x} = \sqrt{2mE_{кин}}$. Заменим $\Delta p_{x}$ значением $\sqrt{2mE_{кин}}$ (такая замена не увеличит $l$). Переходя от неравенства к равенству, получим
$l_{min} = \frac{2 \hbar}{ \sqrt{2mE_{кин}}}$. (3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
$\frac{[ \hbar ]}{([m][T])^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1 Дж \cdot с}{(1 кг \cdot 1 Дж)^{ \frac{1}{2} }} = \left ( \frac{1 Дж}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } \cdot 1 с = \left ( \frac{1 кг \cdot м^{2}/с^{2}}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } \cdot 1 с = 1 м$.
Найденная единица является единицей длины.
Произведем вычисления:
$l_{min} = \frac{2 \cdot 1,05 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10} м = 1,24 \cdot 10^{-10} м = 124 нм$.
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка $E_{кин} = 10 эВ$. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение:
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
$\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar$, (1)
где $\Delta x$ - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); $\Delta p_{x}$ - неопределенность импульса частицы (электрона); $\hbar$ - постоянная Планка.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры $l$, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с
неопределенностью
$\Delta x = \frac{l}{2}$.
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде $\frac{l}{2} \Delta p_{x} \geq \hbar$, откуда
$l \geq \frac{2 \hbar}{ \Delta p_{x}}$. (2)
Физически разумная неопределенность импульса $\Delta p_{x}$ во всяком случае не должна превышать значения самого импульса $p_{x}$, т.е. $\Delta p_{x} \leq p_{x}$. Импульс $p_{x}$ связан с кинетической энергией $E_{кин}$ соотношением $p_{x} = \sqrt{2mE_{кин}}$. Заменим $\Delta p_{x}$ значением $\sqrt{2mE_{кин}}$ (такая замена не увеличит $l$). Переходя от неравенства к равенству, получим
$l_{min} = \frac{2 \hbar}{ \sqrt{2mE_{кин}}}$. (3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
$\frac{[ \hbar ]}{([m][T])^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1 Дж \cdot с}{(1 кг \cdot 1 Дж)^{ \frac{1}{2} }} = \left ( \frac{1 Дж}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } \cdot 1 с = \left ( \frac{1 кг \cdot м^{2}/с^{2}}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } \cdot 1 с = 1 м$.
Найденная единица является единицей длины.
Произведем вычисления:
$l_{min} = \frac{2 \cdot 1,05 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10} м = 1,24 \cdot 10^{-10} м = 124 нм$.
