Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16094
2023-07-26 
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов $U$. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) $U_{1} = 51 В$; 2) $U_{2} = 510 кВ$.
Решение:
Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса p и определяется формулой
$\lambda = \frac{h}{p}$, (1)
где $h$ - постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия $E_{кин}$. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
$p = \sqrt{2m_{0}E_{кин}}$, (2)
где $m_{0}$ - масса покоя частицы. В релятивистском случае
$p = \sqrt{(2 E_{0} + E_{кин})E_{кин}}{c}$, (3)
где $E_{0} = m_{0}c^{2}$ - энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае
$\lambda = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0}E_{кин}}}$, (4)
в релятивистском случае
$\lambda = \frac{hc}{ \sqrt{(2E_{0} +E_{кин})E_{кин}}}$. (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов $U_{1} = 51 В$ и $U_{2} = 510 кВ$, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов $U$,
$E_{кин} = eU$.
В первом случае $E_{кин1} = eU = 51 эВ = 0,51 \cdot 10^{-4} МэВ$, что много меньше энергии покоя электрона $E_{0} = m_{0}c^{2} = 0,51 МэВ$. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что $E_{кин1} = 10^{-4} m_{0}c^{2}$. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
$\lambda = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0} \cdot 10^{-4} \cdot m_{0}c^{2}}} = \frac{10^{2}}{ \sqrt{2}} \frac{h}{m_{0}c}$.
Учитывая, что $\frac{h}{m_{0}c}$ есть комптоновская длина волны $\Lambda$, получаем
$\lambda_{1} = \frac{10^{2} \Lambda}{ \sqrt{2}}$.
Так как $\Lambda = 2,43 пм$, то
$\lambda_{1} = \frac{10^{2} \cdot 2,43}{ \sqrt{2}} пм = 171 пм$.
Во втором случае кинетическая энергия $E_{кин2} = eU_{2} = 510 кэВ = 0,51 МэВ$, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что $E_{кин2} = 0,51 МэВ = m_{0}c^{2}$, по формуле (5) находим
$\lambda = \frac{h}{ \frac{ \sqrt{(2m_{0}c^{2} + m_{0}c^{2})m_{0}c^{2} } }{c} } = \frac{h}{ \sqrt{3}m_{0}c}$, или $\lambda_{2} = \frac{ \Lambda}{ \sqrt{3}}$.
Подставим значение $\Lambda$ и произведем вычисления:
$\lambda_{2} = \frac{2,43}{ \sqrt{3}} пм = 1,40 пм$.
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов $U$. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) $U_{1} = 51 В$; 2) $U_{2} = 510 кВ$.
Решение:
Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса p и определяется формулой
$\lambda = \frac{h}{p}$, (1)
где $h$ - постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия $E_{кин}$. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
$p = \sqrt{2m_{0}E_{кин}}$, (2)
где $m_{0}$ - масса покоя частицы. В релятивистском случае
$p = \sqrt{(2 E_{0} + E_{кин})E_{кин}}{c}$, (3)
где $E_{0} = m_{0}c^{2}$ - энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае
$\lambda = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0}E_{кин}}}$, (4)
в релятивистском случае
$\lambda = \frac{hc}{ \sqrt{(2E_{0} +E_{кин})E_{кин}}}$. (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов $U_{1} = 51 В$ и $U_{2} = 510 кВ$, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов $U$,
$E_{кин} = eU$.
В первом случае $E_{кин1} = eU = 51 эВ = 0,51 \cdot 10^{-4} МэВ$, что много меньше энергии покоя электрона $E_{0} = m_{0}c^{2} = 0,51 МэВ$. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что $E_{кин1} = 10^{-4} m_{0}c^{2}$. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
$\lambda = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0} \cdot 10^{-4} \cdot m_{0}c^{2}}} = \frac{10^{2}}{ \sqrt{2}} \frac{h}{m_{0}c}$.
Учитывая, что $\frac{h}{m_{0}c}$ есть комптоновская длина волны $\Lambda$, получаем
$\lambda_{1} = \frac{10^{2} \Lambda}{ \sqrt{2}}$.
Так как $\Lambda = 2,43 пм$, то
$\lambda_{1} = \frac{10^{2} \cdot 2,43}{ \sqrt{2}} пм = 171 пм$.
Во втором случае кинетическая энергия $E_{кин2} = eU_{2} = 510 кэВ = 0,51 МэВ$, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что $E_{кин2} = 0,51 МэВ = m_{0}c^{2}$, по формуле (5) находим
$\lambda = \frac{h}{ \frac{ \sqrt{(2m_{0}c^{2} + m_{0}c^{2})m_{0}c^{2} } }{c} } = \frac{h}{ \sqrt{3}m_{0}c}$, или $\lambda_{2} = \frac{ \Lambda}{ \sqrt{3}}$.
Подставим значение $\Lambda$ и произведем вычисления:
$\lambda_{2} = \frac{2,43}{ \sqrt{3}} пм = 1,40 пм$.
