Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16090
2023-07-26 
Определить максимальную скорость $\nu_{max}$ фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:
1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны $\lambda_{1} = 0,155 мкм$;
2) $\gamma$ - излучением с длиной волны $\lambda_{2} = 1 пм$.
Решение:
Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
$E = A + E_{кин \: max}$, (1)
где $E$ - энергия фотонов, падающих на поверхность металла; $A$ - работа выхода; $E_{кин \: min}$ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется также по формуле
$E = \frac{hc}{ \lambda}$, (2)
где $h$ - постоянная Планка; $c$ - скорость света в вакууме; $\lambda$ - длина волны.
Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле
$E_{кин} = \frac{m_{0}v^{2}}{2}$, (3)
или по релятивистской формуле
$E_{кин} = E_{0} \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^{2}} - 1}$. (4)
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия $E$ фотона много меньше энергии покоя $E_{0}$ электрона, то может быть применена формула (3), если же $E$ сравнима по величине с $E_{0}$, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):
$E_{1} = \frac{ 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{1,55 \cdot 10^{-7}} Дж = 1,28 \cdot 10^{-18} Дж$,
или
$E_{1} = \frac{1,28 \cdot 10^{-18}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 8 эВ$.
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51МэВ).Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):
$E_{1} = A + \frac{m_{0} v_{max}^{2}}{2}$,
откуда
$v_{max} = \sqrt{ \frac{2(E_{1} - A )}{m_{0}}}$. (5)
Проверим дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения
единиц:
$\left ( \frac{[E_{1} - A ]}{[m_{0} ]} \right )^{ \frac{1}{2}} = \left ( \frac{ 1 Дж}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2}} = \left ( \frac{1 кг \cdot м^{2}/ с^{2} }{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } = 1 м/с$.
Найденная единица является единицей скорости.
Подставив значения величин в формулу (5), найдем
$v_{max} = \sqrt{ \frac{2(1,28 \cdot 10^{-18} - 0,75 \cdot 10^{-18})}{9,11 \cdot 10^{-31}}} м/с = 1,08 \cdot 10^{6} м/с$.
2) Вычислим энергию фотона $\gamma$-излучения:
$E_{2} = \frac{hc}{ \lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{10^{-12}} Дж = 1,99 \cdot 10^{-13} Дж$,
или во внесистемных единицах
$E_{2} = \frac{1,99 \cdot 10^{-13}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 1,244 \cdot 10^{6} эВ = 1,24 МэВ$.
Работа выхода электрона ($A = 4,7 эВ$) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ($E_{2} = 1,24 МэВ$), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: $E_{кин \: max} = E_{2} = 1,24 МэВ$. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем
$\beta = \frac{ \sqrt{(2E_{0} + Е_{кин}) E_{кин}}}{E_{0} + E_{кин}}$.
Заметив, что $v = c \beta$ и $E_{кин \: max} = E_{2}$, получим
$v_{max} = \frac{c \sqrt{(2 E_{0} + E_{2} ) E_{2}}}{ E_{0} + E_{2}}$.
Произведем вычисления (энергии $E_{0}$ и $E_{2}$ входят в формулу в виде отношения, поэтому единицы измерения можно не переводить в систему СИ)
$v_{max} = 3 \cdot 10^{8} \frac{ \sqrt{(2 \cdot 0,51 +1,24) \cdot 1,24}}{0,51 \cdot 1,24} м/с = 2,85 \cdot 10^{8} м/с$.
Определить максимальную скорость $\nu_{max}$ фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:
1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны $\lambda_{1} = 0,155 мкм$;
2) $\gamma$ - излучением с длиной волны $\lambda_{2} = 1 пм$.
Решение:
Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
$E = A + E_{кин \: max}$, (1)
где $E$ - энергия фотонов, падающих на поверхность металла; $A$ - работа выхода; $E_{кин \: min}$ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется также по формуле
$E = \frac{hc}{ \lambda}$, (2)
где $h$ - постоянная Планка; $c$ - скорость света в вакууме; $\lambda$ - длина волны.
Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле
$E_{кин} = \frac{m_{0}v^{2}}{2}$, (3)
или по релятивистской формуле
$E_{кин} = E_{0} \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^{2}} - 1}$. (4)
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия $E$ фотона много меньше энергии покоя $E_{0}$ электрона, то может быть применена формула (3), если же $E$ сравнима по величине с $E_{0}$, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):
$E_{1} = \frac{ 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{1,55 \cdot 10^{-7}} Дж = 1,28 \cdot 10^{-18} Дж$,
или
$E_{1} = \frac{1,28 \cdot 10^{-18}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 8 эВ$.
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51МэВ).Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):
$E_{1} = A + \frac{m_{0} v_{max}^{2}}{2}$,
откуда
$v_{max} = \sqrt{ \frac{2(E_{1} - A )}{m_{0}}}$. (5)
Проверим дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения
единиц:
$\left ( \frac{[E_{1} - A ]}{[m_{0} ]} \right )^{ \frac{1}{2}} = \left ( \frac{ 1 Дж}{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2}} = \left ( \frac{1 кг \cdot м^{2}/ с^{2} }{1 кг} \right )^{ \frac{1}{2} } = 1 м/с$.
Найденная единица является единицей скорости.
Подставив значения величин в формулу (5), найдем
$v_{max} = \sqrt{ \frac{2(1,28 \cdot 10^{-18} - 0,75 \cdot 10^{-18})}{9,11 \cdot 10^{-31}}} м/с = 1,08 \cdot 10^{6} м/с$.
2) Вычислим энергию фотона $\gamma$-излучения:
$E_{2} = \frac{hc}{ \lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{10^{-12}} Дж = 1,99 \cdot 10^{-13} Дж$,
или во внесистемных единицах
$E_{2} = \frac{1,99 \cdot 10^{-13}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 1,244 \cdot 10^{6} эВ = 1,24 МэВ$.
Работа выхода электрона ($A = 4,7 эВ$) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ($E_{2} = 1,24 МэВ$), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: $E_{кин \: max} = E_{2} = 1,24 МэВ$. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем
$\beta = \frac{ \sqrt{(2E_{0} + Е_{кин}) E_{кин}}}{E_{0} + E_{кин}}$.
Заметив, что $v = c \beta$ и $E_{кин \: max} = E_{2}$, получим
$v_{max} = \frac{c \sqrt{(2 E_{0} + E_{2} ) E_{2}}}{ E_{0} + E_{2}}$.
Произведем вычисления (энергии $E_{0}$ и $E_{2}$ входят в формулу в виде отношения, поэтому единицы измерения можно не переводить в систему СИ)
$v_{max} = 3 \cdot 10^{8} \frac{ \sqrt{(2 \cdot 0,51 +1,24) \cdot 1,24}}{0,51 \cdot 1,24} м/с = 2,85 \cdot 10^{8} м/с$.
