ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-12-18   
Какой заряд протечет через резистор после замыкания ключа? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Параметры $\mathcal{E}, r, L$ и $R$ заданы.



Решение:


Напряжение на катушке равно напряжению на сопротивлении:

$Li_{L}^{ \prime} = i_{R}R$. (1)

Через достаточно большое время ток в цепи определяется законом Ома:

$I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$ (2)

(ток через сопротивление Я равен нулю, поскольку активное (омическое) сопротивление катушки равно нулю).

Проинтегрируем обе части (1) по времени в пределах от нуля до бесконечности:

$\int_{0}^{ \infty} Li_{L}^{ \prime} dt = \int_{0}^{ \infty} i_{R} Rdt$ (3)

или

$L \int_{0}^{ \infty} i_{L}^{ \prime} dt = R \int_{0}^{ \infty} i_{R}dt$,

где $i_{L}$ и $i_{R}$ — токи через катушку и сопротивление соответственно. Учитывая, что $i_{L}(0) = 0$ и $i_{L}( \infty) = I$, $q = \int_{0}^{ \infty} i_{R} dt$ — заряд, прошедший через сопротивление, из (2,3) находим:

$q = \frac{LI}{R} = \frac{L \mathcal{E}}{Rr}$.

Задача может быть решена без применения интегрирования. Перепишем (1) в виде:

$L \frac{ \Delta i}{ \Delta t} = \frac{ \Delta q}{ \Delta t} R$

или

$L \Delta i = \Delta q R$. (5)

Суммируя (5) по всем промежуткам времени с учетом (2), приходим к полученному выше ответу.