Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16071
2023-07-19 
Снаряд выпущен в гору, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Найдите траекторию, для достижения максимальной дальности.
Решение:
Зададим систему координат, в которой ось $x$ горизонтальна, ось $y$ вертикальна, а начало координат расположено в точке запуска снаряда (см. рис.).
Координаты снаряда задаются как
$x = vt \cos \theta$,
$y = vt \sin \theta - \frac{gt^{2}}{2}$,
где $\theta$ - угол, который снаряд образует с горизонтом в момент пуска. Однако, когда снаряд ударяется о землю, его координаты должны удовлетворять уравнению $y = x tg \alpha$. Делая замену, получаем
$vt \sin \theta - \frac{1}{2} gt^{2} = vt \cos \theta tg \alpha$
Это дает
$t = \frac{2v}{g} ( \sin \theta - \cos \theta tg \alpha )$.
Подставив это в наше выражение для $x$, мы получим
$x = \frac{2v^{2}}{g} ( \cos \theta \sin \theta - \cos^{2} \theta tg \theta )$.
Дальность будет максимальной, когда $x$ максимальна, поэтому мы можем продифференцировать это выражение относительно $\theta$ при условии $\frac{dx}{d \theta} = 0$, чтобы найти условие для максимальной дальности:
$\frac{dx}{d \theta} = \frac{2v^{2}}{g} ( \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta + 2 \cos \theta \sin \theta tg \theta)$.
Приравняв это значение к нулю и вспомнив, что $\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta = \cos 2 \theta$ и $2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2 \theta$, получаем
$tg 2 \theta = - \frac{1}{tg \alpha}$.
Выражение можно еще больше упростить.
$- \frac{1}{tg \alpha} = tg \left ( \alpha - \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$,
где $n$ - целое число, получаем выражение
$\theta = \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{4} + \frac{ n \pi}{2}$.
$n$ должно быть равно 1, иначе 0 не попадет в диапазон от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, так что мы можем, наконец, записать наше решение в виде $\theta = \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{4}$. (На самом деле это траектория, которое делит пополам угол между наклоном и вертикалью.)
Снаряд выпущен в гору, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Найдите траекторию, для достижения максимальной дальности.
Решение:
Зададим систему координат, в которой ось $x$ горизонтальна, ось $y$ вертикальна, а начало координат расположено в точке запуска снаряда (см. рис.).
Координаты снаряда задаются как
$x = vt \cos \theta$,
$y = vt \sin \theta - \frac{gt^{2}}{2}$,
где $\theta$ - угол, который снаряд образует с горизонтом в момент пуска. Однако, когда снаряд ударяется о землю, его координаты должны удовлетворять уравнению $y = x tg \alpha$. Делая замену, получаем
$vt \sin \theta - \frac{1}{2} gt^{2} = vt \cos \theta tg \alpha$
Это дает
$t = \frac{2v}{g} ( \sin \theta - \cos \theta tg \alpha )$.
Подставив это в наше выражение для $x$, мы получим
$x = \frac{2v^{2}}{g} ( \cos \theta \sin \theta - \cos^{2} \theta tg \theta )$.
Дальность будет максимальной, когда $x$ максимальна, поэтому мы можем продифференцировать это выражение относительно $\theta$ при условии $\frac{dx}{d \theta} = 0$, чтобы найти условие для максимальной дальности:
$\frac{dx}{d \theta} = \frac{2v^{2}}{g} ( \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta + 2 \cos \theta \sin \theta tg \theta)$.
Приравняв это значение к нулю и вспомнив, что $\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta = \cos 2 \theta$ и $2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2 \theta$, получаем
$tg 2 \theta = - \frac{1}{tg \alpha}$.
Выражение можно еще больше упростить.
$- \frac{1}{tg \alpha} = tg \left ( \alpha - \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$,
где $n$ - целое число, получаем выражение
$\theta = \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{4} + \frac{ n \pi}{2}$.
$n$ должно быть равно 1, иначе 0 не попадет в диапазон от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, так что мы можем, наконец, записать наше решение в виде $\theta = \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{4}$. (На самом деле это траектория, которое делит пополам угол между наклоном и вертикалью.)
