Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16069
2023-07-19 
Маятник состоит из медного шара радиуса $R$ и плотности $\rho$, подвешенного на струне. При движении шар испытывает вязкое сопротивление воздуха, так что амплитуда колебаний $A$, затухает со временем $t$ следующим образом:
$A = A_{0} e^{ - \gamma t}$,
где
$\gamma = \frac{9 \eta}{4R^{2} \rho}$,
$A_{0}$ - амплитуда в момент времени $t = 0$, $\eta$ - вязкость воздуха. Измерение амплитуд с точностью до 1%; другие измерения записываются ниже. Оцените время, необходимое для снижения амплитуды до 85% $A_{0}$ и ошибка в этой величине. Какой экспериментальный параметр вносит наибольшую ошибку в конечный результат?
$\eta = (1,78 \pm 0,02)\cdot 10^{-5} \frac{кг}{м \cdot с}$.
$R = 5,2 \pm 0,2 мм$.
$\rho = (8,92 \pm 0,05) \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$.
Решение:
Мы хотим определить $t$, поэтому перепишем уравнения так, чтобы сделать $t$ аргументом:
$t = \frac{1}{ \gamma} ln \frac{A_{0}}{A} = \frac{4R^{2} \rho}{9 \eta} ln \frac{A_{0}}{A}$
$A$ и $A_{0}$ определяется с относительной точностью 1,0%, поэтому отношение $\frac{A_{0}}{A}$ определяется с относительной точностью $(1^{2} + 1^{2})^{ \frac{1}{2} } = 1,4$%.
Если $y = ln x, dy = \frac{dx}{x}$, то абсолютная точность $ln x$ равна относительной точности $x$. Таким образом, $ln \frac{A_{0}}{A}$ имеет абсолютную точность $\pm 0,014$, а поскольку $\frac{A_{0}}{A} = \frac{100}{85}, ln \frac{A_{0}}{A} = 0,163 \pm 0,014$, т. е. относительная точность 8,6%.
Относительная погрешность $R^{2}$ равна $2 \frac{0,2}{5,2} = 7,7$%.
Относительная погрешность $\rho$ составляет $\frac{0,05}{8,92} = 0,6$%.
Относительная погрешность $\eta$ составляет $\frac{0,02}{1,78} = 1,1$%.
Таким образом, относительная погрешность $t$ равна $(8,6^{2} + 7,7^{2} + 0,6^{2} + 1,1^{2})^{ \frac{1}{2}} \text{%} = 11,6$%.
Значение $t$
$\frac{4(5,2 \cdot 10^{-3})^{2}(8,92 \cdot 10^{3})}{9(1,78 \cdot 10^{-5})} ln \frac{100}{85} = 979 с$.
Итак
$t = 979 с \pm 11,6 \text{%} = (1,0 \pm 0,1) \cdot 10^{3} с$.
Очевидно, что наибольший вклад в ошибку $t$ вносит ошибка определения амплитуд $A_{0}$ и $A$.
Маятник состоит из медного шара радиуса $R$ и плотности $\rho$, подвешенного на струне. При движении шар испытывает вязкое сопротивление воздуха, так что амплитуда колебаний $A$, затухает со временем $t$ следующим образом:
$A = A_{0} e^{ - \gamma t}$,
где
$\gamma = \frac{9 \eta}{4R^{2} \rho}$,
$A_{0}$ - амплитуда в момент времени $t = 0$, $\eta$ - вязкость воздуха. Измерение амплитуд с точностью до 1%; другие измерения записываются ниже. Оцените время, необходимое для снижения амплитуды до 85% $A_{0}$ и ошибка в этой величине. Какой экспериментальный параметр вносит наибольшую ошибку в конечный результат?
$\eta = (1,78 \pm 0,02)\cdot 10^{-5} \frac{кг}{м \cdot с}$.
$R = 5,2 \pm 0,2 мм$.
$\rho = (8,92 \pm 0,05) \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$.
Решение:
Мы хотим определить $t$, поэтому перепишем уравнения так, чтобы сделать $t$ аргументом:
$t = \frac{1}{ \gamma} ln \frac{A_{0}}{A} = \frac{4R^{2} \rho}{9 \eta} ln \frac{A_{0}}{A}$
$A$ и $A_{0}$ определяется с относительной точностью 1,0%, поэтому отношение $\frac{A_{0}}{A}$ определяется с относительной точностью $(1^{2} + 1^{2})^{ \frac{1}{2} } = 1,4$%.
Если $y = ln x, dy = \frac{dx}{x}$, то абсолютная точность $ln x$ равна относительной точности $x$. Таким образом, $ln \frac{A_{0}}{A}$ имеет абсолютную точность $\pm 0,014$, а поскольку $\frac{A_{0}}{A} = \frac{100}{85}, ln \frac{A_{0}}{A} = 0,163 \pm 0,014$, т. е. относительная точность 8,6%.
Относительная погрешность $R^{2}$ равна $2 \frac{0,2}{5,2} = 7,7$%.
Относительная погрешность $\rho$ составляет $\frac{0,05}{8,92} = 0,6$%.
Относительная погрешность $\eta$ составляет $\frac{0,02}{1,78} = 1,1$%.
Таким образом, относительная погрешность $t$ равна $(8,6^{2} + 7,7^{2} + 0,6^{2} + 1,1^{2})^{ \frac{1}{2}} \text{%} = 11,6$%.
Значение $t$
$\frac{4(5,2 \cdot 10^{-3})^{2}(8,92 \cdot 10^{3})}{9(1,78 \cdot 10^{-5})} ln \frac{100}{85} = 979 с$.
Итак
$t = 979 с \pm 11,6 \text{%} = (1,0 \pm 0,1) \cdot 10^{3} с$.
Очевидно, что наибольший вклад в ошибку $t$ вносит ошибка определения амплитуд $A_{0}$ и $A$.
