2023-07-19
Анализом размерностей получить вид зависимости подъемной силы на единицу размаха крыла самолета шириной (в направлении движения) $L$, движущегося со скоростью $v$ в воздухе плотностью $\rho$, от параметров $L, v$ и $\rho$.
Решение:
На рис. показаны ширина и размах крыла.
Обозначим подъемную силу на единицу размаха крыла $\Phi$ и запишем
$\Phi = kL^{ \alpha} v^{ \beta} \rho^{ \gamma}$,
где $k, \alpha, \beta$ и $\gamma$ - безразмерные константы. Так как размерность силы $MLT^{-2}$, размерность $\Phi$ - $MT^{-2}$. Таким образом
$MT^{-2} = L^{ \alpha}L^{ \beta }T^{ - \beta} M^{ \gamma}L^{-3 \gamma}$.
Таким образом, приравнивая члены в $M$, $\gamma = 1$.
Приравнивая члены в $T$, $- \beta = -2$, поэтому $\beta = 2$.
Приравнивая члены в $L$, $\alpha + \beta - 3 \gamma = 0$, поэтому $\alpha = 1$.
Таким образом, мы можем написать
$\Phi = kLv^{2} \rho$.
(Этот анализ предполагает, что мы можем определить безразмерный коэффициент подъемной силы как $\frac{F}{ \frac{1}{2} \rho v^{2}L w}$, где $w$ - размах крыла. Коэффициент $\frac{1}{2}$ является условным. Например, Боинг 707 имеет максимальную массу около $148 \cdot 10^{3} кг$ и площадь крыла около $280 м^{2}$. На высоте 10700 м, где плотность воздуха $\rho$ составляет около $0,37 \frac{кг}{м^{3}}$, крейсерская скорость составляет около 250 м/с. Таким образом, коэффициент подъемной силы в этих условиях составляет около
$\frac{2 \cdot 148 \cdot 10^{3} \cdot 9,8}{0,37 \cdot 250^{2} \cdot 280} = 0,45$.
Большинство крыльев самолетов имеют коэффициент подъемной силы в диапазоне от 0,2 до 0,6, в зависимости от конструкции крыла и его ориентации по отношению к движению самолета.)