Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1604
2016-12-18 
Найти максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора после замыкания ключа. Величины $\mathcal{E}, L$ и $C$ заданы, внутренним сопротивлением источника пренебречь. В начальный момент конденсатор не заряжен.
Решение:
Учитывая, что внутреннее сопротивление источника равно нулю, имеем:
$\mathcal{E} = Li^{ \prime} + \frac{q}{C}$ (1)
$( \phi_{1} - \phi_{3} = \mathcal{E}; \phi_{1} - \phi_{3} = \phi_{1} - \phi_{2} + \phi_{2} - \phi_{3} = Li^{ \prime} + \frac{q}{C})$.
В момент времени, когда ток максимален, производная тока по времени равна нулю (условие экстремума функции). Следовательно, (1) принимает вид:
$\mathcal{E} = \frac{q}{C}$, (2)
где $q$ — заряд конденсатора в момент времени, когда ток достиг максимального значения.
Запишем закон сохранения энергии: работа сторонних сил источника затрачена на энергию заряженного конденсатора и катушки с током:
$A_{ст} = \mathcal{E} \Delta q = \frac{LI^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2C}$. (3)
Очевидно, что прошедший через источник заряд $\Delta q$ равен заряду пластины конденсатора:
$\Delta q = q$. (4)
Из (2 — 4) получаем:
$I = \mathcal{E} \frac{ \sqrt{C}}{L}$.
В момент времени, когда заряд максимален, ток в цепи равен нулю и закон сохранения энергии принимает вид:
$\frac{q_{m}^{2}}{2C} = \mathcal{E} q_{m}$, (5)
откуда получаем:
$q_{m} = 2 \mathcal{E}C$.
При этом напряжение на конденсаторе вдвое превышает ЭДС источника.
Второй вариант решения задачи основан на отыскании общей зависимости заряда на конденсаторе и тока от времени. Для этого запишем закон сохранения энергии для произвольного момента времени:
$\frac{Li^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2C} = \mathcal{E}q$.
Продифференцировав (6) по времени и учитывая, что $q^{ \prime} = i$ и $q^{ \prime} = i^{ \prime}$ получим после сокращения на $q^{ \prime} = i$:
$q^{ \prime} + \omega^{2}q = \frac{ \mathcal{E}}{L}$, (7)
где $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$.
Можно показать, что решением уравнения (7) является функция:
$q = C \mathcal{E} (1 - \cos \omega t)$. (8)
Продифференцировав (8), находим:
$i = C \mathcal{E} \frac{1}{ \sqrt{LC}} \sin \omega t$. (9)
Взяв в (8) и (9) максимальные значения, приходим к ответам первого варианта решения.
Найти максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора после замыкания ключа. Величины $\mathcal{E}, L$ и $C$ заданы, внутренним сопротивлением источника пренебречь. В начальный момент конденсатор не заряжен.
Решение:
Учитывая, что внутреннее сопротивление источника равно нулю, имеем:
$\mathcal{E} = Li^{ \prime} + \frac{q}{C}$ (1)
$( \phi_{1} - \phi_{3} = \mathcal{E}; \phi_{1} - \phi_{3} = \phi_{1} - \phi_{2} + \phi_{2} - \phi_{3} = Li^{ \prime} + \frac{q}{C})$.
В момент времени, когда ток максимален, производная тока по времени равна нулю (условие экстремума функции). Следовательно, (1) принимает вид:
$\mathcal{E} = \frac{q}{C}$, (2)
где $q$ — заряд конденсатора в момент времени, когда ток достиг максимального значения.
Запишем закон сохранения энергии: работа сторонних сил источника затрачена на энергию заряженного конденсатора и катушки с током:
$A_{ст} = \mathcal{E} \Delta q = \frac{LI^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2C}$. (3)
Очевидно, что прошедший через источник заряд $\Delta q$ равен заряду пластины конденсатора:
$\Delta q = q$. (4)
Из (2 — 4) получаем:
$I = \mathcal{E} \frac{ \sqrt{C}}{L}$.
В момент времени, когда заряд максимален, ток в цепи равен нулю и закон сохранения энергии принимает вид:
$\frac{q_{m}^{2}}{2C} = \mathcal{E} q_{m}$, (5)
откуда получаем:
$q_{m} = 2 \mathcal{E}C$.
При этом напряжение на конденсаторе вдвое превышает ЭДС источника.
Второй вариант решения задачи основан на отыскании общей зависимости заряда на конденсаторе и тока от времени. Для этого запишем закон сохранения энергии для произвольного момента времени:
$\frac{Li^{2}}{2} + \frac{q^{2}}{2C} = \mathcal{E}q$.
Продифференцировав (6) по времени и учитывая, что $q^{ \prime} = i$ и $q^{ \prime} = i^{ \prime}$ получим после сокращения на $q^{ \prime} = i$:
$q^{ \prime} + \omega^{2}q = \frac{ \mathcal{E}}{L}$, (7)
где $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$.
Можно показать, что решением уравнения (7) является функция:
$q = C \mathcal{E} (1 - \cos \omega t)$. (8)
Продифференцировав (8), находим:
$i = C \mathcal{E} \frac{1}{ \sqrt{LC}} \sin \omega t$. (9)
Взяв в (8) и (9) максимальные значения, приходим к ответам первого варианта решения.
