2023-07-02
Льдине из задачи 15967 в начальный момент времени сообщили скорость, равную $v_{0}$. Определить ее скорость в произвольный момент времени, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости льдины: $\vec{F}_{c} = - r \vec{v}$, где $r$ - коэффициент пропорциональности.
Решение:
Очевидно, что льдина будет совершать затухающие колебания. Применяя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение этих колебаний:
$m \ddot{x} = - r \dot{x} - \rho_{в} Sgx$,
или
$\ddot{x} + 2 \delta \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$, (1)
где $\delta = \frac{r}{2m}$ - коэффициент затухания, а $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \rho_{в}g}{ \rho_{л}H}}$ - собственная частота колебаний.
Как известно, решением уравнения (1) является функция
$x = x_{0}e^{- \delta t} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$,
где $\omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \delta^{2}}$ - частота затухающих колебаний.
Начальную амплитуду $x_{0}$ и начальную фазу $\alpha_{0}$ определим из начальных условий ($x=0, \dot{x} = v_{0}$ при $t=0$):
$\begin{cases} 0 = x_{0} \sin \alpha_{0}, \\ v_{0} = - x_{0} \delta \sin \alpha_{0} + x_{0} \omega \cos \alpha, \end{cases}$
откуда $\alpha_{0} = 0, x_{0} = \frac{ v_{0}}{ \omega}$.
Таким образом, получен закон движения льдины
$x = \frac{v_{0}}{ \omega} e^{- \delta t} \sin \omega t$.
Отсюда легко получить искомую скорость льдины в произвольный момент времени:
$v = \dot{x} = v_{0} \left ( \cos \omega t - \frac{ \delta}{ \omega} \sin \omega t \right ) e^{ - \delta t}$.
Легко видеть, что в условиях задачи площадь поперечного сечения льдины $S$ уже не лишняя, а необходимая для расчетов величина.