2023-07-02
В воде плавает льдина в виде параллелепипеда с площадью основания $S = 1 м^{2}$ и высотой $H = 0,5 м$. Льдину погружают в воду на небольшую глубину $x_{0} = 5 см$ и отпускают. Определить период ее колебаний. Силой сопротивления воды пренебречь.
Решение:
В физическую систему включим одно тело - льдину. Внешние тела - Земля и вода.
Физическое явление заключалось в том, что сначала льдина находилась в покое, а затем стала совершать колебательные движения. Льдину в условиях данной задачи нельзя принять за материальную точку, но легко видеть, что каждая ее точка движется одинаковым образом. Следовательно, для решения задачи достаточно описать движение какой-либо одной ее точки, например центра масс. Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с водой (предполагается, что она неподвижна и изменением уровня ее поверхности при погружении льдины можно пренебречь). Начало координат О поместим на поверхности воды, а ось ОХ направим так, как показано на рис..
Рассмотрим состояние льдины до погружения. Она находится в равновесии. На нее действуют две силы: сила тяжести $mg = \rho_{x}Vg = \rho_{л}SHg$ (где $\rho_{л}=900 кг/м^{3}$ - плотность льда) и выталкивающая сила Архимеда $F_{A} = \rho_{в} Shg$ (где $\rho_{в} =10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды, $h$ - глубина погружения льдины в состоянии равновесия). По второму закону Ньютона получаем
$\rho_{л}SHg - \rho_{в}Shg = 0$, (1)
откуда $h = \frac{ \rho_{л}}{ \rho_{в}} H$.
Исследуем состояние льдины после погружения. При погружении на дополнительную глубину $x$ (где $x$ - произвольная величина; рис.) появляется дополнительная сила Архимеда $F = \rho_{в}Sxg = \rho_{в}Sgx$. Учитывая уравнение (1), по второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний!
$m \ddot{x} = - \rho_{в}Sgx$,
или
$\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$, (2)
где
$\omega_{0}^{2} = \frac{ \rho_{в}g}{ \rho_{л}H}$. (3)
Из уравнения (3) определяем искомый период колебаний:
$T_{0} = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \rho_{л}H }{ \rho_{в}g } }$. (4)
Отсюда находим, что $T_{0} \approx 1,3 с$.
Из уравнения (4) видно, что период колебаний не зависит от площади поперечного сечения $S$ льдины и, следовательно, в условиях данной задачи это лишняя величина. Плотности же воды $\rho_{в}$ и льда $\rho_{л}$ необходимо взять из таблиц.
Из уравнения (2) и начальных условий ($x = x_{0}, x=0$ при $t=0$) можно найти закон движения:
$x = x_{0} \sin \left ( \omega_{0}t + \frac{ \pi}{2} \right )$.
Таким образом, льдина совершает гармонические колебания. В реальных условиях колебания льдины будут затухающими. Поэтому усложним условия рассмотренной задачи, учтя силу сопротивления воды и изменив начальные условия.