Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15962
2023-07-02 
Из двух портов А и В, расстояние между которыми равно $l$, одновременно выходят два катера один из которых плывет со скоростью $\vec{v}_{1}$, а другой - с скоростью $\vec{v}_{2}$ (рис.). Направление движения первое катера составляет угол $\alpha$, а второго - угол $\beta$ с линией АВ. Каким будет наименьшее расстояние между катерами?
Решение:
Приведем сначала стандартное решение. Применим метод анализа физической ситуации. В дальнейшем метод анализа физической ситуации задачи будем сокращенно называть методом анализа. В физическую систем включим оба катера, которые можно принять за материальные точки. Они движутся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. Это движение рассматривается формально. Необходимо определить один из параметров этого явления - минимальное расстояние между телами. Эта задача связана с основной задачей кинематики. Начало координат выберем в точке А. Так как законы движения тел известны:
$\vec{r}_{1} = v_{1} \cos \alpha \cdot t \vec{i} + v_{1} \sin \alpha \cdot t \cdot \vec{j}$,
$\vec{r}_{2} = (l - v_{2} \cos \beta \cdot t) \vec{i} + v_{2} \sin \beta \cdot t \cdot \vec{j}$,
то из них определим расстояние между катерами в любой момент времени:
$r = \sqrt{(l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t)^{2} + ((v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )t)^{2} }$. (1)
Остается найти минимум этого выражения. Вот здесь-то нас ожидают нелегкие вычисления, которые, однако, придется проделать до конца. Для упрощения этих вычислений (нам необходимо найти производную $r^{ \prime}$ и, приравняв ее нулю, определить значение $t_{min}$, после подстановки которого в (1) можно получить искомое $r_{min}$) возведем $r$ в квадрат:
$r^{2} = (l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t)^{2} + ((v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )t)^{2}$.
Найдем производные от обеих частей последнего выражения:
$2rr^{ \prime} = 2 \{ - [l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t] (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha ) + (v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )^{2}t \}$.
Исключим тривиальный случай, когда $r = 0$ (это означает, что катера могут столкнуться). Тогда, приравнивая $r^{ \prime}$ нулю, находим тот момент времени $t_{min}$, в который расстояние между катерами минимально:
$t_{min} = \frac{l(v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )}{v_{2}^{2} + v_{1}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta )}$.
Подставив это выражение $t_{min}$ в (1) после очень долгих вычислений получаем окончательно
$r_{min} = \frac{l(v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$.
Дадим теперь оригинальное решение. Свяжем инерциальную систему отсчета не с Землей, а с первым катером (1). Почему? Чем эта система лучше системы, связанной с Землей? Может быть, она лучше, может быть, хуже. Мы заранее этого не знаем. Попробуем все же выбрать именно такую систему отсчета. Теперь второй катер относительно этой системы отсчета движется с относительной скоростью
$\vec{v} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$ (2)
и траектория его является прямой линией ВС (рис.). Очевидно, что минимальное расстояние между катерами есть длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВС:
$|AC|=l \sin \phi$,
где $\phi$ - угол между направлением ВА и вектором $\vec{v}$. Осталось найти $\sin \phi$. Проецируя $\vec{v}$ (см. (2)) на ось ОY, получаем
$v \sin \phi = v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha$.
По теореме косинусов,
$v = \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta )}$.
Таким образом,
$\sin \phi = \frac{v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha }{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$.
Следовательно, окончательно
$r_{min} = |AC| = \frac{l(v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$,
что совпадает с выражением, полученным путем длительны вычислений стандартным методом.
Из двух портов А и В, расстояние между которыми равно $l$, одновременно выходят два катера один из которых плывет со скоростью $\vec{v}_{1}$, а другой - с скоростью $\vec{v}_{2}$ (рис.). Направление движения первое катера составляет угол $\alpha$, а второго - угол $\beta$ с линией АВ. Каким будет наименьшее расстояние между катерами?
Решение:
Приведем сначала стандартное решение. Применим метод анализа физической ситуации. В дальнейшем метод анализа физической ситуации задачи будем сокращенно называть методом анализа. В физическую систем включим оба катера, которые можно принять за материальные точки. Они движутся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. Это движение рассматривается формально. Необходимо определить один из параметров этого явления - минимальное расстояние между телами. Эта задача связана с основной задачей кинематики. Начало координат выберем в точке А. Так как законы движения тел известны:
$\vec{r}_{1} = v_{1} \cos \alpha \cdot t \vec{i} + v_{1} \sin \alpha \cdot t \cdot \vec{j}$,
$\vec{r}_{2} = (l - v_{2} \cos \beta \cdot t) \vec{i} + v_{2} \sin \beta \cdot t \cdot \vec{j}$,
то из них определим расстояние между катерами в любой момент времени:
$r = \sqrt{(l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t)^{2} + ((v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )t)^{2} }$. (1)
Остается найти минимум этого выражения. Вот здесь-то нас ожидают нелегкие вычисления, которые, однако, придется проделать до конца. Для упрощения этих вычислений (нам необходимо найти производную $r^{ \prime}$ и, приравняв ее нулю, определить значение $t_{min}$, после подстановки которого в (1) можно получить искомое $r_{min}$) возведем $r$ в квадрат:
$r^{2} = (l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t)^{2} + ((v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )t)^{2}$.
Найдем производные от обеих частей последнего выражения:
$2rr^{ \prime} = 2 \{ - [l - (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )t] (v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha ) + (v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )^{2}t \}$.
Исключим тривиальный случай, когда $r = 0$ (это означает, что катера могут столкнуться). Тогда, приравнивая $r^{ \prime}$ нулю, находим тот момент времени $t_{min}$, в который расстояние между катерами минимально:
$t_{min} = \frac{l(v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha )}{v_{2}^{2} + v_{1}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta )}$.
Подставив это выражение $t_{min}$ в (1) после очень долгих вычислений получаем окончательно
$r_{min} = \frac{l(v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$.
Дадим теперь оригинальное решение. Свяжем инерциальную систему отсчета не с Землей, а с первым катером (1). Почему? Чем эта система лучше системы, связанной с Землей? Может быть, она лучше, может быть, хуже. Мы заранее этого не знаем. Попробуем все же выбрать именно такую систему отсчета. Теперь второй катер относительно этой системы отсчета движется с относительной скоростью
$\vec{v} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$ (2)
и траектория его является прямой линией ВС (рис.). Очевидно, что минимальное расстояние между катерами есть длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВС:
$|AC|=l \sin \phi$,
где $\phi$ - угол между направлением ВА и вектором $\vec{v}$. Осталось найти $\sin \phi$. Проецируя $\vec{v}$ (см. (2)) на ось ОY, получаем
$v \sin \phi = v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha$.
По теореме косинусов,
$v = \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta )}$.
Таким образом,
$\sin \phi = \frac{v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha }{ \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$.
Следовательно, окончательно
$r_{min} = |AC| = \frac{l(v_{2} \sin \beta - v_{1} \sin \alpha )}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + 2v_{1}v_{2} \cos ( \alpha + \beta ) } }$,
что совпадает с выражением, полученным путем длительны вычислений стандартным методом.
