2016-12-18
Индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра радиусом $r = 0,1 м$ линейно возрастает со временем $B = \beta t ( \beta = 10^{-3} Тл/с)$ и направлена вдоль оси цилиндра. Найти напряженность вихревого электрического поля на расстоянии $l = 0,2 м$ от оси цилиндра и ЭДС индукции в проводнике, концы которого А и В образуют угол $AOB = \alpha$ (см. рис.).
Решение:
Согласно определению:
$\mathcal{E}_{i} = \frac{A_{ст}}{q}$, (1)
где в данном случае работа сторонних сил есть работа силы $Eq$, действующей на заряд $q$/ со стороны вихревого электрического поля $E$ по замкнутой окружности радиусом $l$:
$A_{ст} = Eq 2 \pi l$ (2)
(учтено, что в каждый момент времени угол между направлением силы и скорости равен нулю).
Учитывая закон электромагнитной индукции:
$\mathcal{E}_{i} = \Phi^{ \prime} = ( \pi r^{2}B)^{ \prime} = \pi r^{2} \beta$,
из (1, 2) получаем:
$E = \frac{ \beta r^{2}}{2l} = 2,5 \cdot 10^{-5} \frac{В}{м}$. (4)
Проводя аналогичные вычисления для ЭДС индукции $\mathcal{E}_{A^{ \prime}B^{ \prime}}$, возникающей между точками $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ (см. рис.), получим:
$\mathcal{E}_{A^{ \prime}B^{ \prime}} = \beta \pi r^{2} \frac{ \alpha}{2 \pi} = \frac{ \beta r^{2} \alpha}{2}$. (5)
Запишем закон электромагнитной индукции для контура $A^{ \prime}ABB^{ \prime}A^{ \prime}$:
$\mathcal{E}_{A^{ \prime}ABB^{ \prime}A^{ \prime}} = 0$ (6)
(магнитный поток через контур $A^{ \prime}ABB^{ \prime}A^{ \prime}$ отсутствует).
Поскольку на участках $A^{ \prime}A$ и $B^{ \prime}B$ ЭДС индукции равна нулю (вихревое поле $E$, а вместе с ним сторонняя сила на этих участках перпендикулярна перемещению), имеем:
$\mathcal{E}_{A^{ \prime}ABB^{ \prime}A^{ \prime}} = \mathcal{E}_{A^{ \prime}B^{ \prime}} + \mathcal{E}_{BA}$. (7)
Таким образом, окончательно находим:
$\mathcal{E}_{AB} = \beta \pi r^{2} \frac{ \alpha}{ 2 \pi}$.