Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15867
2023-06-30 
Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол $\phi_{0}$ и затем отпустили. В момент, когда шарик проходит положение равновесия, он ударяется о вертикальную стенку (рис.) и теряет часть своей энергии $\alpha T$, где $\alpha$ - постоянная величина ($0 < \alpha < 1$), а $T$ - кинетическая энергия в момент удара. Затем шарик вновь отклоняется на угол $\phi_{1} < \phi_{0}$ и т. д. Найти число ударов $n$, после которых шарик отклонится на угол $\phi_{n} < \phi^{ \prime}$, где $\phi^{ \prime}$ - заданный угол ($\phi^{ \prime} < \phi_{0}$).
Решение:
При движении шарика из отклоненного на угол $\phi_{0}$ положения до положения равновесия ($\phi = 0$) его потенциальная энергия изменяется на величину
$\Delta U = - mgl (1 - \cos \phi_{0})$.
Отсюда кинетическая энергия $T_{0}$ в момент, когда $\phi = 0$,
$T_{0} = mgl (1 - \cos \phi_{0})$;
$m$ - масса шарика, $l$ -длина нити.
После первого удара шарик потеряет часть энергии, равную $\alpha T_{0}$, и будет обладать энергией $T_{0}( 1- \alpha )$.
После второго удара у него останется энергия $T_{0} (1 - \alpha) - \alpha T_{0}(1 - \alpha ) = T_{0}(1 - \alpha )^{2}$, после третьего $T_{0}(1- \alpha )^{3}$.
Рассуждая таким образом, найдем, что после $n$-го удара шарик будет обладать энергией $T_{0}(1- \alpha )^{n}$ и сможет отклониться на угол $\phi^{ \prime}$, определяемый из уравнения
$T_{0}(1- \alpha )^{ n} = mgl (1 - \cos \phi^{ \prime} )$.
Подставляя значение $T_{0}$, получим
$mgl( 1 - \cos \phi_{0}) (1 - \alpha )^{n} = mgl (1 - \cos \phi^{ \prime} )$.
$(1 - \alpha )^{n} = \frac{1 - \cos \phi^{ \prime} }{1 - \cos \phi_{0}}; n > \frac{lg \left ( \frac{1 - \cos \phi^{ \prime} }{1 - \cos \phi_{0} } \right )}{lg(1 - \alpha )}$.
Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол $\phi_{0}$ и затем отпустили. В момент, когда шарик проходит положение равновесия, он ударяется о вертикальную стенку (рис.) и теряет часть своей энергии $\alpha T$, где $\alpha$ - постоянная величина ($0 < \alpha < 1$), а $T$ - кинетическая энергия в момент удара. Затем шарик вновь отклоняется на угол $\phi_{1} < \phi_{0}$ и т. д. Найти число ударов $n$, после которых шарик отклонится на угол $\phi_{n} < \phi^{ \prime}$, где $\phi^{ \prime}$ - заданный угол ($\phi^{ \prime} < \phi_{0}$).
Решение:
При движении шарика из отклоненного на угол $\phi_{0}$ положения до положения равновесия ($\phi = 0$) его потенциальная энергия изменяется на величину
$\Delta U = - mgl (1 - \cos \phi_{0})$.
Отсюда кинетическая энергия $T_{0}$ в момент, когда $\phi = 0$,
$T_{0} = mgl (1 - \cos \phi_{0})$;
$m$ - масса шарика, $l$ -длина нити.
После первого удара шарик потеряет часть энергии, равную $\alpha T_{0}$, и будет обладать энергией $T_{0}( 1- \alpha )$.
После второго удара у него останется энергия $T_{0} (1 - \alpha) - \alpha T_{0}(1 - \alpha ) = T_{0}(1 - \alpha )^{2}$, после третьего $T_{0}(1- \alpha )^{3}$.
Рассуждая таким образом, найдем, что после $n$-го удара шарик будет обладать энергией $T_{0}(1- \alpha )^{n}$ и сможет отклониться на угол $\phi^{ \prime}$, определяемый из уравнения
$T_{0}(1- \alpha )^{ n} = mgl (1 - \cos \phi^{ \prime} )$.
Подставляя значение $T_{0}$, получим
$mgl( 1 - \cos \phi_{0}) (1 - \alpha )^{n} = mgl (1 - \cos \phi^{ \prime} )$.
$(1 - \alpha )^{n} = \frac{1 - \cos \phi^{ \prime} }{1 - \cos \phi_{0}}; n > \frac{lg \left ( \frac{1 - \cos \phi^{ \prime} }{1 - \cos \phi_{0} } \right )}{lg(1 - \alpha )}$.
