Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15825
2023-06-26 
По вращающемуся диску ведут карандаш так, что он перемещается по прямой относительно окружающих предметов от края диска к его центру со скоростью, равной абсолютной скорости точек диска в месте соприкосновения диска с карандашом. Определить, через какое время карандаш коснется центра диска. Радиус диска $R$.
Решение:
Скорость движения карандаша $v_{к}$ равна касательной скорости точки диска в том месте, где карандаш соприкасается с ним, $v_{R} = \omega r$, $r$ - расстояние точки касания от центра диска (полное расстояние, которое должен пройти карандаш, равно длине радиуса $R$).
Путь, который карандаш проходит за малый промежуток времени $\Delta t$, можно определить, считая скорость $v_{R}$ постоянной за это время:
$\Delta r = v_{R} \Delta t = \omega r \Delta t$.
Отсюда
$\Delta t = \frac{ \Delta r}{ \omega r}$.
Разбив все расстояние $R$ на $n$ равных малых отрезков $\Delta r$, получим время прохождения карандаша от края диска к центру, при условии, что его скорость остается на каждом из отрезков $\Delta r$ постоянной и равной $v_{i} = \omega r_{i}$ ($i$ - номер отрезка $\Delta r$, считая от центра). Тогда
$t_{n} = \sum_{i=1}^{n} \Delta t_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{ \omega } \frac{ \Delta r}{r_{i}}$,
где $r_{1} = \Delta r, r_{2} = 2 \Delta r, \cdots , r_{i} = i \Delta r$. Следовательно,
$t_{n} = \frac{1}{ \omega} \sum_{i=1}^{n} \frac{ \Delta r}{ i \Delta r} = \frac{1}{ \omega } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
Для нахождения времени $t$ движения при непрерывном изменении скорости необходимо перейти к пределу при п$n \rightarrow \infty$:
$t = lim_{n \rightarrow \infty} t_{n} = \frac{1}{ \omega} \sum_{i=1}^{ \infty} \frac{1}{i}$.
Сумма ряда $\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{1}{i}$ бесконечно велика. В этом можно убедиться следующим образом. Напишем сумму $k$ членов ряда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k}$, (1)
она больше суммы ряда
$1+ \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right ) + \cdots$
при равном числе членов. Последний ряд представим как
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$ (2)
Ясно, что сумма ряда (2) стремится к бесконечности при неограниченно возрастающем числе членов, тем более быстро стремится к бесконечности сумма ряда (1) при том же условии. Карандаш никогда не придет в центр диска.
По вращающемуся диску ведут карандаш так, что он перемещается по прямой относительно окружающих предметов от края диска к его центру со скоростью, равной абсолютной скорости точек диска в месте соприкосновения диска с карандашом. Определить, через какое время карандаш коснется центра диска. Радиус диска $R$.
Решение:
Скорость движения карандаша $v_{к}$ равна касательной скорости точки диска в том месте, где карандаш соприкасается с ним, $v_{R} = \omega r$, $r$ - расстояние точки касания от центра диска (полное расстояние, которое должен пройти карандаш, равно длине радиуса $R$).
Путь, который карандаш проходит за малый промежуток времени $\Delta t$, можно определить, считая скорость $v_{R}$ постоянной за это время:
$\Delta r = v_{R} \Delta t = \omega r \Delta t$.
Отсюда
$\Delta t = \frac{ \Delta r}{ \omega r}$.
Разбив все расстояние $R$ на $n$ равных малых отрезков $\Delta r$, получим время прохождения карандаша от края диска к центру, при условии, что его скорость остается на каждом из отрезков $\Delta r$ постоянной и равной $v_{i} = \omega r_{i}$ ($i$ - номер отрезка $\Delta r$, считая от центра). Тогда
$t_{n} = \sum_{i=1}^{n} \Delta t_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{ \omega } \frac{ \Delta r}{r_{i}}$,
где $r_{1} = \Delta r, r_{2} = 2 \Delta r, \cdots , r_{i} = i \Delta r$. Следовательно,
$t_{n} = \frac{1}{ \omega} \sum_{i=1}^{n} \frac{ \Delta r}{ i \Delta r} = \frac{1}{ \omega } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
Для нахождения времени $t$ движения при непрерывном изменении скорости необходимо перейти к пределу при п$n \rightarrow \infty$:
$t = lim_{n \rightarrow \infty} t_{n} = \frac{1}{ \omega} \sum_{i=1}^{ \infty} \frac{1}{i}$.
Сумма ряда $\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{1}{i}$ бесконечно велика. В этом можно убедиться следующим образом. Напишем сумму $k$ членов ряда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k}$, (1)
она больше суммы ряда
$1+ \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right ) + \cdots$
при равном числе членов. Последний ряд представим как
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$ (2)
Ясно, что сумма ряда (2) стремится к бесконечности при неограниченно возрастающем числе членов, тем более быстро стремится к бесконечности сумма ряда (1) при том же условии. Карандаш никогда не придет в центр диска.
