Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15822
2023-06-26 
Из города А в город В ведут две дороги, каждая из которых не имеет самопересечений (рис.). Доказать, что если два автомобиля могут выехать одновременно из А и проехать по этим дорогам в В так, что расстояние между ними ни в какой момент времени не будет больше 20 м, то две круглые платформы радиусом 11 м каждая, выехавшие одновременно одна из А в В, другая из В в А, не смогут проехать по этим дорогам, не столкнувшись.
Решение:
Выбираем систему координатных осей так, как это показано на рис. Отложим на оси у отрезок $OB^{ \prime \prime}$, представляющий в некотором масштабе длину первой дороги (городу $A$ соответствует точка $O$, городу $B$ - точка $B^{ \prime}$), а на оси $x$ отрезок $OB^{ \prime}$ - длину второй дороги (городу $A$ соответствует точка $O$, городу $B$ - точка $B^{ \prime}$), Тогда какому-то положению автомобиля, движущегося по первой дороге, будет соответствовать некоторая точка $y$ на отрезке $OB^{ \prime \prime}$, а положению второго автомобиля в тот же момент времени - некоторая точка $x$ на отрезке $OB^{ \prime}$. Точка $z$ на плоскости соответствует такому моменту времени, когда второй автомобиль находился в точке $x$, а первый в точке $y$. Другими словами, она характеризует положение обоих автомобилей. Одновременное движение автомобилей по первой и второй дорогам можно изобразить некоторой непрерывной кривой $OzC$, которая должна пройти через точку $O$ (город $A$) и $C$ (соответствующую приходу автомобилей в $B$),
Если бы платформы могли проехать из $A$ в $B$ и из $B$ в $A$, то их движению соответствовала бы кривая $B{ \prime \prime}zB^{ \prime}$ (первая платформа вышла из $A$, т. е. $y = 0$, вторая из $B$, т. е. $x = B^{ \prime}$ затем через некоторое время первая платформа приходит в $B$, для нее $y = B^{ \prime \prime}$ а вторая в $A$, для нее $x = 0$). Но кривые $OzC$ и $B^{ \prime \prime }zB^{ \prime}$ должны пересечься, т. е. иметь хотя бы одну общую точку $z$. Месту их пересечения отвечает такое положение, когда между платформами расстояние будет не более 20 м (согласно условию, накладываемому на движение автомобилей). Следовательно, еще не дойдя до этой точки, платформы столкнутся.
Из города А в город В ведут две дороги, каждая из которых не имеет самопересечений (рис.). Доказать, что если два автомобиля могут выехать одновременно из А и проехать по этим дорогам в В так, что расстояние между ними ни в какой момент времени не будет больше 20 м, то две круглые платформы радиусом 11 м каждая, выехавшие одновременно одна из А в В, другая из В в А, не смогут проехать по этим дорогам, не столкнувшись.
Решение:
Выбираем систему координатных осей так, как это показано на рис. Отложим на оси у отрезок $OB^{ \prime \prime}$, представляющий в некотором масштабе длину первой дороги (городу $A$ соответствует точка $O$, городу $B$ - точка $B^{ \prime}$), а на оси $x$ отрезок $OB^{ \prime}$ - длину второй дороги (городу $A$ соответствует точка $O$, городу $B$ - точка $B^{ \prime}$), Тогда какому-то положению автомобиля, движущегося по первой дороге, будет соответствовать некоторая точка $y$ на отрезке $OB^{ \prime \prime}$, а положению второго автомобиля в тот же момент времени - некоторая точка $x$ на отрезке $OB^{ \prime}$. Точка $z$ на плоскости соответствует такому моменту времени, когда второй автомобиль находился в точке $x$, а первый в точке $y$. Другими словами, она характеризует положение обоих автомобилей. Одновременное движение автомобилей по первой и второй дорогам можно изобразить некоторой непрерывной кривой $OzC$, которая должна пройти через точку $O$ (город $A$) и $C$ (соответствующую приходу автомобилей в $B$),
Если бы платформы могли проехать из $A$ в $B$ и из $B$ в $A$, то их движению соответствовала бы кривая $B{ \prime \prime}zB^{ \prime}$ (первая платформа вышла из $A$, т. е. $y = 0$, вторая из $B$, т. е. $x = B^{ \prime}$ затем через некоторое время первая платформа приходит в $B$, для нее $y = B^{ \prime \prime}$ а вторая в $A$, для нее $x = 0$). Но кривые $OzC$ и $B^{ \prime \prime }zB^{ \prime}$ должны пересечься, т. е. иметь хотя бы одну общую точку $z$. Месту их пересечения отвечает такое положение, когда между платформами расстояние будет не более 20 м (согласно условию, накладываемому на движение автомобилей). Следовательно, еще не дойдя до этой точки, платформы столкнутся.
