Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15820
2023-06-26 
Покоящееся тело начинает двигаться по следующему закону: в течение первой секунды оно движется с постоянным ускорением, равным $a$, в течение второй-с ускорением - $\frac{a}{2}$, в течение третьей $\frac{a}{4}$, четвертой - $\frac{a}{8}$ и т. д. Определить, какой путь тело проходит за $n$-ю секунду. Какова скорость тела к концу $n$-й секунды? (В этой задаче мы полагаем, что время, за которое меняется величина и знак ускорения, пренебрежимо мало.)
Решение:
Обозначим через $v_{1}, v_{2}, v_{3}, \cdots$ скорости тела в конце первой, второй, третьей и т. д. секунд.
Тогда
$v_{1} = at$,
$v_{2} = at - \frac{at}{2}$,
$v_{3} = at - \frac{at}{2} + \frac{at}{4}$,
$\cdots \cdots$
Скорость в конце $n$-й секунды
$v_{n} = at - \frac{at}{2} + \frac{at}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{at}{2^{n-1}} = at \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right ] = \frac{1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n} }{ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right ) } at = \frac{2at}{3} \left [ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n} \right ]$.
Пути, пройденные телом за первую, вторую и т. д. секунды:
$s_{1} = \frac{at^{2}}{2} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2}$,
$s_{2} = at^{2} - \frac{at^{2}}{4} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4}$,
$s_{3} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4} - \frac{at^{2}}{8}$,
$\cdots \cdots$
Путь, пройденный за $n$-ю секунду,
$s_{n} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4} + \cdots + (-1)^{n} \frac{at^{2}}{2^{n}} = at^{2} \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} \right ] = \frac{ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n + 1} }{1 - \left ( - \frac{1}{2} \right ) }at^{2} = \frac{2at^{2}}{3} \left [ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} \right ]$.
Покоящееся тело начинает двигаться по следующему закону: в течение первой секунды оно движется с постоянным ускорением, равным $a$, в течение второй-с ускорением - $\frac{a}{2}$, в течение третьей $\frac{a}{4}$, четвертой - $\frac{a}{8}$ и т. д. Определить, какой путь тело проходит за $n$-ю секунду. Какова скорость тела к концу $n$-й секунды? (В этой задаче мы полагаем, что время, за которое меняется величина и знак ускорения, пренебрежимо мало.)
Решение:
Обозначим через $v_{1}, v_{2}, v_{3}, \cdots$ скорости тела в конце первой, второй, третьей и т. д. секунд.
Тогда
$v_{1} = at$,
$v_{2} = at - \frac{at}{2}$,
$v_{3} = at - \frac{at}{2} + \frac{at}{4}$,
$\cdots \cdots$
Скорость в конце $n$-й секунды
$v_{n} = at - \frac{at}{2} + \frac{at}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{at}{2^{n-1}} = at \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right ] = \frac{1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n} }{ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right ) } at = \frac{2at}{3} \left [ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n} \right ]$.
Пути, пройденные телом за первую, вторую и т. д. секунды:
$s_{1} = \frac{at^{2}}{2} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2}$,
$s_{2} = at^{2} - \frac{at^{2}}{4} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4}$,
$s_{3} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4} - \frac{at^{2}}{8}$,
$\cdots \cdots$
Путь, пройденный за $n$-ю секунду,
$s_{n} = at^{2} - \frac{at^{2}}{2} + \frac{at^{2}}{4} + \cdots + (-1)^{n} \frac{at^{2}}{2^{n}} = at^{2} \left [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} \right ] = \frac{ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n + 1} }{1 - \left ( - \frac{1}{2} \right ) }at^{2} = \frac{2at^{2}}{3} \left [ 1 - \left ( - \frac{1}{2} \right )^{n+1} \right ]$.
