Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15819
2023-06-26 
Прямой круговой пустотелый конус поставлен вверх основанием так, что оно параллельно земле (рис.). Внутри него к центру основания О привязана нить с нанизанной на нее бусинкой. Под каким углом $\alpha$ к вертикали должна быть натянута нить, чтобы бусинка, скользя по ней без трения, достигла боковой поверхности конуса за кратчайшее время? Бусинка падает с начальной скоростью, равной нулю. Угол раствора конуса равен $\phi$.
Решение:
Пусть нить натянута по прямой $BO$, которая составляет угол $\alpha$ с вертикалью $CO$ (см. рис.).
Проведем $AO \perp AC$. Угол $AOB = 90^{ \circ} - \frac{ \phi}{2} - \alpha$,
$BO = \frac{AO}{ \cos \left ( 90^{ \circ} - \frac{ \phi }{2} - \alpha \right ) } = \frac{AO}{ \sin \left ( \frac{ \phi }{2} + \alpha \right )}$.
Бусинка будет скользить по нити с ускорением $a = g \cos \alpha$. Найдем время прохождения пути $BO$. Так как
$BO = \frac{g \cos \alpha \cdot t^{2}}{2}$,
то
$t = \sqrt{ \frac{2BO}{g \cos \alpha } } = \sqrt{ \frac{2AO}{g} \frac{1}{ \sin \left ( \frac{ \phi}{2} + \alpha \right ) \cos \alpha }}$.
Время $t$ будет минимальным при максимальном значении произведения $\sin \left ( \frac{ \phi}{2} + \alpha \right ) \cos \alpha $.
Но $\sin \left ( \frac{ \phi }{2} + \alpha \right ) \cos \alpha =\frac{ \sin \left ( \frac{ \phi }{2} + 2 \alpha \right ) + \sin \frac{ \phi }{2} }{2}$.
При заданном значении $\phi$ последнее выражение будет максимальным,если $\sin \left ( \frac{ \phi}{2} + 2 \alpha \right ) = 1$ или $\frac{ \phi}{2} + 2 \alpha = 90^{ \circ}$. Отсюда
$\alpha = 45^{ \circ} - \frac{ \phi}{4}$.
Прямой круговой пустотелый конус поставлен вверх основанием так, что оно параллельно земле (рис.). Внутри него к центру основания О привязана нить с нанизанной на нее бусинкой. Под каким углом $\alpha$ к вертикали должна быть натянута нить, чтобы бусинка, скользя по ней без трения, достигла боковой поверхности конуса за кратчайшее время? Бусинка падает с начальной скоростью, равной нулю. Угол раствора конуса равен $\phi$.
Решение:
Пусть нить натянута по прямой $BO$, которая составляет угол $\alpha$ с вертикалью $CO$ (см. рис.).
Проведем $AO \perp AC$. Угол $AOB = 90^{ \circ} - \frac{ \phi}{2} - \alpha$,
$BO = \frac{AO}{ \cos \left ( 90^{ \circ} - \frac{ \phi }{2} - \alpha \right ) } = \frac{AO}{ \sin \left ( \frac{ \phi }{2} + \alpha \right )}$.
Бусинка будет скользить по нити с ускорением $a = g \cos \alpha$. Найдем время прохождения пути $BO$. Так как
$BO = \frac{g \cos \alpha \cdot t^{2}}{2}$,
то
$t = \sqrt{ \frac{2BO}{g \cos \alpha } } = \sqrt{ \frac{2AO}{g} \frac{1}{ \sin \left ( \frac{ \phi}{2} + \alpha \right ) \cos \alpha }}$.
Время $t$ будет минимальным при максимальном значении произведения $\sin \left ( \frac{ \phi}{2} + \alpha \right ) \cos \alpha $.
Но $\sin \left ( \frac{ \phi }{2} + \alpha \right ) \cos \alpha =\frac{ \sin \left ( \frac{ \phi }{2} + 2 \alpha \right ) + \sin \frac{ \phi }{2} }{2}$.
При заданном значении $\phi$ последнее выражение будет максимальным,если $\sin \left ( \frac{ \phi}{2} + 2 \alpha \right ) = 1$ или $\frac{ \phi}{2} + 2 \alpha = 90^{ \circ}$. Отсюда
$\alpha = 45^{ \circ} - \frac{ \phi}{4}$.
