Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15814
2023-06-26 
Скорость ветра возрастает прямо пропорционально высоте подъема, причем на поверхности земли она равна нулю, а на высоте $h_{0}$ величине $V_{0}$ (рис.). Под каким углом $\phi$ к вертикали необходимо выстрелить из зенитного орудия, чтобы снаряд вернулся в точку вылета, если в результате действия ветра снаряд приобретает дополнительную горизонтальную составляющую скорости $v_{гор} = kV_{в}$, где $k$ - постоянное число, $V_{в}$ - скорость ветра? Начальная скорость снаряда $v_{0}$.
Решение:
Для решения задачи введем оси координат, как показано на рис.. Вертикальная плоскость $xy$ параллельна вектору скорости ветра. Так как ветер не оказывает влияния на движение снаряда в вертикальном направлении, то зависимость вертикальной составляющей скорости $v_{y}$ и высоты снаряда $y$ от времени есть
$v_{y} = v_{0} \cos \phi - gt$,
$y = v_{0} \cos \phi \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}$.
Время полета снаряда
$t_{п} = \frac{2v_{0} \cos \phi}{g}$.
Горизонтальную составляющую скорости снаряда $v_{x}$ представим в виде двух членов $v_{x}^{ \prime}$ и $v_{x}^{ \prime \prime}$, первый из которых не зависит от времени, а второй зависит:
$v_{x} = v_{x}^{ \prime} + v_{x}^{ \prime \prime}$,
$v_{x} = - v_{0} \sin \phi$,
$v_{x}^{ \prime \prime} = k \frac{V_{0}}{h_{0}} y = \frac{kV_{0}}{h_{0}} \left ( v_{0} \cos \phi \cdot t - \frac{gt^{2}}{2} \right )$
здесь $\frac{V_{0}}{h_{0}} y$ - скорость ветра на высоте $y$). Слагающая $v_{x}^{ \prime}$ обусловливает смещение снаряда за время $t_{п}$ на $x^{ \prime} = v_{x}^{ \prime} t_{п}$ по оси $x$ влево, а слагающая $v_{x}^{ \prime \prime}$ -вправо по оси $x$ на $x^{ \prime \prime}$. Так как $v_{x}^{ \prime \prime}$ зависит от времени квадратично, то $x^{ \prime \prime}$ представляет собой площадь под параболой, описываемой функцией $v_{x}^{ \prime }(t)$ за время от 0 до $t = t_{п}$. Найдем площадь под параболой:
$x^{ \prime \prime} = \frac{kV_{0}}{h_{0}} \frac{2v_{0}^{3} \cos^{2} \phi}{3g^{2} }$.
Для того чтобы снаряд вернулся в исходную точку, необходимо выполнение условия
$x^{ \prime} + x^{ \prime \prime} = 0$,
$- v_{0} \sin \phi \frac{2v_{0} \cos \phi }{g} + \frac{kV_{0}}{h_{0}} \frac{2v_{0}^{3} \cos^{3} \phi }{3g^{2} } = 0$.
Решая это уравнение относительно $\phi$, находим
$\phi = arcsin \frac{ \sqrt{ 1 + 4A^{2}} - 1}{2A}$,
где
$A = \frac{kv_{0}V_{0}}{3gh_{0}}$.
Для существования решения необходимо, чтобы $0 \leq \phi < \frac{ \pi}{2}$, что выполняется для любых значений $A$.
Скорость ветра возрастает прямо пропорционально высоте подъема, причем на поверхности земли она равна нулю, а на высоте $h_{0}$ величине $V_{0}$ (рис.). Под каким углом $\phi$ к вертикали необходимо выстрелить из зенитного орудия, чтобы снаряд вернулся в точку вылета, если в результате действия ветра снаряд приобретает дополнительную горизонтальную составляющую скорости $v_{гор} = kV_{в}$, где $k$ - постоянное число, $V_{в}$ - скорость ветра? Начальная скорость снаряда $v_{0}$.
Решение:
Для решения задачи введем оси координат, как показано на рис.. Вертикальная плоскость $xy$ параллельна вектору скорости ветра. Так как ветер не оказывает влияния на движение снаряда в вертикальном направлении, то зависимость вертикальной составляющей скорости $v_{y}$ и высоты снаряда $y$ от времени есть
$v_{y} = v_{0} \cos \phi - gt$,
$y = v_{0} \cos \phi \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}$.
Время полета снаряда
$t_{п} = \frac{2v_{0} \cos \phi}{g}$.
Горизонтальную составляющую скорости снаряда $v_{x}$ представим в виде двух членов $v_{x}^{ \prime}$ и $v_{x}^{ \prime \prime}$, первый из которых не зависит от времени, а второй зависит:
$v_{x} = v_{x}^{ \prime} + v_{x}^{ \prime \prime}$,
$v_{x} = - v_{0} \sin \phi$,
$v_{x}^{ \prime \prime} = k \frac{V_{0}}{h_{0}} y = \frac{kV_{0}}{h_{0}} \left ( v_{0} \cos \phi \cdot t - \frac{gt^{2}}{2} \right )$
здесь $\frac{V_{0}}{h_{0}} y$ - скорость ветра на высоте $y$). Слагающая $v_{x}^{ \prime}$ обусловливает смещение снаряда за время $t_{п}$ на $x^{ \prime} = v_{x}^{ \prime} t_{п}$ по оси $x$ влево, а слагающая $v_{x}^{ \prime \prime}$ -вправо по оси $x$ на $x^{ \prime \prime}$. Так как $v_{x}^{ \prime \prime}$ зависит от времени квадратично, то $x^{ \prime \prime}$ представляет собой площадь под параболой, описываемой функцией $v_{x}^{ \prime }(t)$ за время от 0 до $t = t_{п}$. Найдем площадь под параболой:
$x^{ \prime \prime} = \frac{kV_{0}}{h_{0}} \frac{2v_{0}^{3} \cos^{2} \phi}{3g^{2} }$.
Для того чтобы снаряд вернулся в исходную точку, необходимо выполнение условия
$x^{ \prime} + x^{ \prime \prime} = 0$,
$- v_{0} \sin \phi \frac{2v_{0} \cos \phi }{g} + \frac{kV_{0}}{h_{0}} \frac{2v_{0}^{3} \cos^{3} \phi }{3g^{2} } = 0$.
Решая это уравнение относительно $\phi$, находим
$\phi = arcsin \frac{ \sqrt{ 1 + 4A^{2}} - 1}{2A}$,
где
$A = \frac{kv_{0}V_{0}}{3gh_{0}}$.
Для существования решения необходимо, чтобы $0 \leq \phi < \frac{ \pi}{2}$, что выполняется для любых значений $A$.
