Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 157
2014-05-31 
Две автомашины едут по взаимно перпендикулярным дорогам с постоянными, одинаковыми по величине скоростями. В некоторый момент времени машины находились на расстояниях $l_{1} = 1 км$ и $l_{2} = 3 км$ от перекрестка. Найдите минимальное расстояние между машинами.
Решение:
Направим оси координат вдоль каждой из дорог в сторону движения машин. Поскольку в условии задачи не оговорено, приближаются машины к перекрестку или удаляются от него, то координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ положения машин в настоящий момент времени t = 0 могут иметь как положительные, так и отрицательные значения, т. е. $ x_{0} = \pm 3 км$ и $y_{0} = \pm 1 км$. Координаты машин $x$ и $y$ в произвольный момент времени t > 0 определяются формулами
$x(t) = x_{0} + vt, y(t) = y_{0} + vt$. (1)
Для расстояния $l(t)$ между машинами можно написать:
$l(t)=\sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)}$. (2)
Заменяя в (2) x(t) и y(t) правыми частями (1) и возводя затем обе части равенства (2) в квадрат, после простых преобразований получаем
$2v^{2}t^{2}+2vt(x_{0}+y_{0})+x^{2}_{0}+y^{2}_{0} – l^{2} = 0$. (3)
Решая это уравнение относительно t, находим два значения $t_{1}$ и $t_{2}$, отвечающие одному и тому же значению $l$:
$t_{1,2}=- \frac{x_{0}+y_{0}}{v} \ pm \frac{1}{2v} \sqrt{(x_{0}+y_{0})^{2}-2(x_{0}^{2}+y^{2}_{0}-l^{2}}$. (4)
Машины дважды находятся друг от друга на одинаковом расстоянии $l$: сначала в процессе сближения, затем в процессе удаления.
Именно поэтому уравнение (3) имеет два решения. При $l = l_{min}$ подкоренное выражение в (4) обращается в ноль, т. е.
$(x_{0}+y_{0})^{2} = 2 (x^{2}_{0}+y^{2}_{0}-l_{min})$, (5)
и уравнение (3) имеет уже единственное решение
$t_{1} = t_{2} = - \frac{x_{0}+y_{0}}{2v}$. (6)
Из (5) для $l_{min}$ находим
$l_{min} = \frac{|x_{0}-y_{0}|}{\sqrt{2}}$
Из (6) ясно, что $t = t_{1} = t_{2}> 0$ только в том случае, когда $x_{0} < 0$ т. е. когда $x_{0} = - 3 км$. При этом $y_{0}$ может иметь как положительные так и отрицательное значения. Если $y_{0}= - 1 км$, то $l_{min} = \sqrt{2} км$ если $y_{0} = 1 км$, то $l_{min} = 2 \sqrt{2} км$. Если $x_{0} = 3 км$, то, независимо от того, положительно $y_{0}$ или отрицательно, $l$ минимально в начальный момент $t = 0$. В данном случае расчет дает для $l_{min}$, следующие значение: $l_{min} = \sqrt{x^{2}_{0} + y^{2}_{0}} = \sqrt{10} км$.
Две автомашины едут по взаимно перпендикулярным дорогам с постоянными, одинаковыми по величине скоростями. В некоторый момент времени машины находились на расстояниях $l_{1} = 1 км$ и $l_{2} = 3 км$ от перекрестка. Найдите минимальное расстояние между машинами.
Решение:
Направим оси координат вдоль каждой из дорог в сторону движения машин. Поскольку в условии задачи не оговорено, приближаются машины к перекрестку или удаляются от него, то координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ положения машин в настоящий момент времени t = 0 могут иметь как положительные, так и отрицательные значения, т. е. $ x_{0} = \pm 3 км$ и $y_{0} = \pm 1 км$. Координаты машин $x$ и $y$ в произвольный момент времени t > 0 определяются формулами
$x(t) = x_{0} + vt, y(t) = y_{0} + vt$. (1)
Для расстояния $l(t)$ между машинами можно написать:
$l(t)=\sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)}$. (2)
Заменяя в (2) x(t) и y(t) правыми частями (1) и возводя затем обе части равенства (2) в квадрат, после простых преобразований получаем
$2v^{2}t^{2}+2vt(x_{0}+y_{0})+x^{2}_{0}+y^{2}_{0} – l^{2} = 0$. (3)
Решая это уравнение относительно t, находим два значения $t_{1}$ и $t_{2}$, отвечающие одному и тому же значению $l$:
$t_{1,2}=- \frac{x_{0}+y_{0}}{v} \ pm \frac{1}{2v} \sqrt{(x_{0}+y_{0})^{2}-2(x_{0}^{2}+y^{2}_{0}-l^{2}}$. (4)
Машины дважды находятся друг от друга на одинаковом расстоянии $l$: сначала в процессе сближения, затем в процессе удаления.
Именно поэтому уравнение (3) имеет два решения. При $l = l_{min}$ подкоренное выражение в (4) обращается в ноль, т. е.
$(x_{0}+y_{0})^{2} = 2 (x^{2}_{0}+y^{2}_{0}-l_{min})$, (5)
и уравнение (3) имеет уже единственное решение
$t_{1} = t_{2} = - \frac{x_{0}+y_{0}}{2v}$. (6)
Из (5) для $l_{min}$ находим
$l_{min} = \frac{|x_{0}-y_{0}|}{\sqrt{2}}$
Из (6) ясно, что $t = t_{1} = t_{2}> 0$ только в том случае, когда $x_{0} < 0$ т. е. когда $x_{0} = - 3 км$. При этом $y_{0}$ может иметь как положительные так и отрицательное значения. Если $y_{0}= - 1 км$, то $l_{min} = \sqrt{2} км$ если $y_{0} = 1 км$, то $l_{min} = 2 \sqrt{2} км$. Если $x_{0} = 3 км$, то, независимо от того, положительно $y_{0}$ или отрицательно, $l$ минимально в начальный момент $t = 0$. В данном случае расчет дает для $l_{min}$, следующие значение: $l_{min} = \sqrt{x^{2}_{0} + y^{2}_{0}} = \sqrt{10} км$.
