Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15623
2023-05-15 
Пылинки массой $m = 10^{-18} г$ взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на $\delta = 1$%. Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна $T = 300 К$. Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.
Решение:
При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от вертикальной координаты $z$ и описывается функцией распределения Больцмана
$n(z) = n_{0} \cdot e^{ - \frac{mgz}{kT} }$.
Продифференцировав выражение по $z$, получим
$dn = - n_{0} \frac{mg}{kT} \cdot e^{ - \frac{mgz}{kT} } \cdot dz = - \frac{mgz}{kT} n dz$.
Откуда изменение координаты
$dz = - \frac{kT}{mg} \frac{dn}{n}$,
знак "-" показывает, что с увеличением высоты концентрация уменьшается.
По условию задачи изменение концентрации частиц $\Delta n$ с высотой мало по сравнению с самой концентрацией $n$, поэтому можно приближенно заменить дифференциал $dn$ на конечное приращение $\Delta n$. Тогда толщина слоя воздуха с учетом того, что по условию $\frac{ \Delta n}{n} = \delta$,
$\Delta z = \left | \frac{kT}{mg} \frac{ \Delta n}{n} \right | = \left | \frac{kT}{mg} \delta \right | = \frac{1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{10^{-21} \cdot 9,81} \cdot 0,01 = 4,22 мм$.
Пылинки массой $m = 10^{-18} г$ взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на $\delta = 1$%. Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна $T = 300 К$. Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.
Решение:
При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от вертикальной координаты $z$ и описывается функцией распределения Больцмана
$n(z) = n_{0} \cdot e^{ - \frac{mgz}{kT} }$.
Продифференцировав выражение по $z$, получим
$dn = - n_{0} \frac{mg}{kT} \cdot e^{ - \frac{mgz}{kT} } \cdot dz = - \frac{mgz}{kT} n dz$.
Откуда изменение координаты
$dz = - \frac{kT}{mg} \frac{dn}{n}$,
знак "-" показывает, что с увеличением высоты концентрация уменьшается.
По условию задачи изменение концентрации частиц $\Delta n$ с высотой мало по сравнению с самой концентрацией $n$, поэтому можно приближенно заменить дифференциал $dn$ на конечное приращение $\Delta n$. Тогда толщина слоя воздуха с учетом того, что по условию $\frac{ \Delta n}{n} = \delta$,
$\Delta z = \left | \frac{kT}{mg} \frac{ \Delta n}{n} \right | = \left | \frac{kT}{mg} \delta \right | = \frac{1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{10^{-21} \cdot 9,81} \cdot 0,01 = 4,22 мм$.
