Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15572
2023-05-13 
$m = 1 кг$ воздуха совершает цикл Карно в диапазоне температур $t_{1} = 327^{ \circ} C$ и $t_{2} = 27^{ \circ} C$, причем максимальное давление в цикле $P_{1} = 26 \cdot 10^{5} Па$, а минимальное - $P_{2} = 10^{5} Па$. Определить объёмы газа для характерных точек цикла и недостающие значения давления. Молярная масса воздуха $\mu = 29 \cdot 10^{-3} кг/моль$.
Решение:
Для воздуха показатель адиабаты $\gamma = 1,4$ ($i = 5$).
Максимальное давление в цикле Карно соответствует точке 1: $P_{1} = 26 \cdot 10^{5} Па$. Так как температура в этой точке известна $T_{1} = 600 К$, то из уравнения состояния идеального газа
$P_{1}V_{1} = \frac{m}{ \mu } RT_{1} \Rightarrow V_{1} = \frac{mRT_{1}}{ \mu P_{1}} = \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 600}{29 \cdot 10^{-3} \cdot 26 \cdot 10^{5}} = 0,066 м^{3}$.
Минимальное давление в цикле реализуется в точке 3: $P_{3} = 10^{5} Па$, а температура в этой точке $T_{3} = 300 К$. Аналогично запишем
$P_{3}V_{3} = \frac{m}{ \mu} RT_{3} \Rightarrow V_{3} = \frac{mRT_{3}}{ \mu P_{3}} = \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 300}{29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5}} = 0,86 м^{3}$.
Для точки 2 температура $T_{2} = T_{1} = 600 К$. Используем уравнение адиабаты 2-3
$\frac{P_{2}}{P_{3}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } \Rightarrow P_{2} = P_{3} \left ( \frac{T_{2}}{T_{3}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } = 10^{5} \left ( \frac{600}{300} \right )^{ \frac{1,4}{0,4} } = 11,31 \cdot 10^{5} Па$.
А также уравнение изотермы для процесса 1-2
$P_{1} V_{1} = P_{2}V_{2} \Rightarrow V_{2} = V_{1} \frac{P_{1}}{P_{2}} = 0,066 \frac{26 \cdot 10^{5}}{11,31 \cdot 10^{5}} = 0,152 м^{3}$.
Для точки 4 из уравнения адиабаты 4-1 получаем давление $P_{4}$
$\frac{P_{1}}{P_{4}} = \left ( \frac{T_{1}}{T_{4}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } \Rightarrow P_{4} = P_{1} \left ( \frac{T_{4}}{T_{1}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } = 26 \cdot 10^{5} \left ( \frac{300}{600} \right )^{3,5} = 2,3 \cdot 10^{5} Па$.
Из уравнения изотермы 3-4 объем в этой точке
$P_{3}V_{3} = P_{4}V_{4} \Rightarrow V_{4} = V_{3} \frac{P_{3}}{P_{4}} = 0,86 \frac{10^{5}}{2,3 \cdot 10^{5}} = 0,37 м^{3}$.
$m = 1 кг$ воздуха совершает цикл Карно в диапазоне температур $t_{1} = 327^{ \circ} C$ и $t_{2} = 27^{ \circ} C$, причем максимальное давление в цикле $P_{1} = 26 \cdot 10^{5} Па$, а минимальное - $P_{2} = 10^{5} Па$. Определить объёмы газа для характерных точек цикла и недостающие значения давления. Молярная масса воздуха $\mu = 29 \cdot 10^{-3} кг/моль$.
Решение:
Для воздуха показатель адиабаты $\gamma = 1,4$ ($i = 5$).
Максимальное давление в цикле Карно соответствует точке 1: $P_{1} = 26 \cdot 10^{5} Па$. Так как температура в этой точке известна $T_{1} = 600 К$, то из уравнения состояния идеального газа
$P_{1}V_{1} = \frac{m}{ \mu } RT_{1} \Rightarrow V_{1} = \frac{mRT_{1}}{ \mu P_{1}} = \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 600}{29 \cdot 10^{-3} \cdot 26 \cdot 10^{5}} = 0,066 м^{3}$.
Минимальное давление в цикле реализуется в точке 3: $P_{3} = 10^{5} Па$, а температура в этой точке $T_{3} = 300 К$. Аналогично запишем
$P_{3}V_{3} = \frac{m}{ \mu} RT_{3} \Rightarrow V_{3} = \frac{mRT_{3}}{ \mu P_{3}} = \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 300}{29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5}} = 0,86 м^{3}$.
Для точки 2 температура $T_{2} = T_{1} = 600 К$. Используем уравнение адиабаты 2-3
$\frac{P_{2}}{P_{3}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } \Rightarrow P_{2} = P_{3} \left ( \frac{T_{2}}{T_{3}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } = 10^{5} \left ( \frac{600}{300} \right )^{ \frac{1,4}{0,4} } = 11,31 \cdot 10^{5} Па$.
А также уравнение изотермы для процесса 1-2
$P_{1} V_{1} = P_{2}V_{2} \Rightarrow V_{2} = V_{1} \frac{P_{1}}{P_{2}} = 0,066 \frac{26 \cdot 10^{5}}{11,31 \cdot 10^{5}} = 0,152 м^{3}$.
Для точки 4 из уравнения адиабаты 4-1 получаем давление $P_{4}$
$\frac{P_{1}}{P_{4}} = \left ( \frac{T_{1}}{T_{4}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } \Rightarrow P_{4} = P_{1} \left ( \frac{T_{4}}{T_{1}} \right )^{ \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} } = 26 \cdot 10^{5} \left ( \frac{300}{600} \right )^{3,5} = 2,3 \cdot 10^{5} Па$.
Из уравнения изотермы 3-4 объем в этой точке
$P_{3}V_{3} = P_{4}V_{4} \Rightarrow V_{4} = V_{3} \frac{P_{3}}{P_{4}} = 0,86 \frac{10^{5}}{2,3 \cdot 10^{5}} = 0,37 м^{3}$.
