Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1544
2016-12-11 
Найти электрическое давление, которое испытывает поверхность равномерно заряженной сферы радиуса $R$. Заряд сферы $Q$.
Решение:
Первый вариант решения основан на законе сохранения энергии. Для удобства расчета представим себе, что сфера выполнена из абсолютно эластичного (неупругого) материала, а электрическое давление уравновешивается, например, давлением окружающего газа (внутри сферы газ отсутствует). Пусть в результате медленного и очень малого уменьшения давления газа радиус сферы увеличился на малую величину $\Delta R ( \Delta R \ll R)$. При этом над газом совершена работа:
$A = P \Delta V = P 4 \pi R^{2} \Delta R$, (1)
где $\Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$ — изменение объема газа.
Работа над газом совершена за счет уменьшения электростатической энергии сферы:
$\Delta W = W_{1} - W_{2} = \frac{kQ^{2}}{2} R - \frac{kQ^{2}}{2(R+ \Delta R)} \approx \frac{kQ^{2} \Delta R}{2R^{2}}(2)$.
Согласно закону сохранения энергии:
$A = \Delta W$. (3)
Из (1—3) находим:
$P = \frac{kQ^{2}}{8 \pi R^{4}}$.
Величину $\Delta W$ можно было найти также, воспользовавшись выражением для энергии электрического поля. Действительно, после расширения сферы объем, занимаемый электрическим полем, уменьшился на величину шарового слоя толщиной $\Delta R: \Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$. Электрическое поле до расширения в этом слое $E = \frac{kQ}{R^{2}}$, учитывая малость $\Delta R$, можно считать однородным, а после расширения $E = 0$. Отсюда находим:
$\Delta W = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} \Delta V}{2} = \frac{kQ^{2} \Delta R}{2R^{2}}$,
что совпадает с (2).
Второй вариант решения задачи основан на прямом расчете давления.
Рассмотрим малую площадку $\Delta S_{i}$ на поверхности сферы, поверхностная плотность зарядов которой:
$\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2}}$. (5)
Давление $P$, испытываемое площадкой, по определению, равно:
$P = \frac{F}{ \Delta S}$, (6)
где $F$ — сила, действующая со стороны зарядов сферы на заряд $\Delta Q = \sigma \Delta S$ площадки:
$F = E \cdot \Delta Q = E \sigma \Delta S$. (7)
Напряженность электрического поля $E$, создаваемая всеми зарядами сферы за исключением заряда $\Delta Q$, найдем из следующих соображений. Рассмотрим две близкие к поверхности сферы точки А и В: одна внутри сферы, другая — снаружи. Воспользуемся принципом суперпозиции для вычисления поля в точке В:
$E_{B} = E + 2 \pi k \sigma = \frac{kQ}{R^{2}}$, (8)
где $2 \pi k \sigma$ — поле, создаваемое зарядом $\Delta Q$ в точке В. Аналогично, для поля в точке А:
$E_{A} = E - 2 \pi k \sigma = 0$. (9)
Из (8,9) имеем:
$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{kQ}{R^{2}}$. (10)
После несложных вычислений получаем, как и прежде:
$P = \frac{kQ^{2}}{8 \pi R^{4}}$.
Найти электрическое давление, которое испытывает поверхность равномерно заряженной сферы радиуса $R$. Заряд сферы $Q$.
Решение:
Первый вариант решения основан на законе сохранения энергии. Для удобства расчета представим себе, что сфера выполнена из абсолютно эластичного (неупругого) материала, а электрическое давление уравновешивается, например, давлением окружающего газа (внутри сферы газ отсутствует). Пусть в результате медленного и очень малого уменьшения давления газа радиус сферы увеличился на малую величину $\Delta R ( \Delta R \ll R)$. При этом над газом совершена работа:
$A = P \Delta V = P 4 \pi R^{2} \Delta R$, (1)
где $\Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$ — изменение объема газа.
Работа над газом совершена за счет уменьшения электростатической энергии сферы:
$\Delta W = W_{1} - W_{2} = \frac{kQ^{2}}{2} R - \frac{kQ^{2}}{2(R+ \Delta R)} \approx \frac{kQ^{2} \Delta R}{2R^{2}}(2)$.
Согласно закону сохранения энергии:
$A = \Delta W$. (3)
Из (1—3) находим:
$P = \frac{kQ^{2}}{8 \pi R^{4}}$.
Величину $\Delta W$ можно было найти также, воспользовавшись выражением для энергии электрического поля. Действительно, после расширения сферы объем, занимаемый электрическим полем, уменьшился на величину шарового слоя толщиной $\Delta R: \Delta V = 4 \pi R^{2} \Delta R$. Электрическое поле до расширения в этом слое $E = \frac{kQ}{R^{2}}$, учитывая малость $\Delta R$, можно считать однородным, а после расширения $E = 0$. Отсюда находим:
$\Delta W = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} \Delta V}{2} = \frac{kQ^{2} \Delta R}{2R^{2}}$,
что совпадает с (2).
Второй вариант решения задачи основан на прямом расчете давления.
Рассмотрим малую площадку $\Delta S_{i}$ на поверхности сферы, поверхностная плотность зарядов которой:
$\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2}}$. (5)
Давление $P$, испытываемое площадкой, по определению, равно:
$P = \frac{F}{ \Delta S}$, (6)
где $F$ — сила, действующая со стороны зарядов сферы на заряд $\Delta Q = \sigma \Delta S$ площадки:
$F = E \cdot \Delta Q = E \sigma \Delta S$. (7)
Напряженность электрического поля $E$, создаваемая всеми зарядами сферы за исключением заряда $\Delta Q$, найдем из следующих соображений. Рассмотрим две близкие к поверхности сферы точки А и В: одна внутри сферы, другая — снаружи. Воспользуемся принципом суперпозиции для вычисления поля в точке В:
$E_{B} = E + 2 \pi k \sigma = \frac{kQ}{R^{2}}$, (8)
где $2 \pi k \sigma$ — поле, создаваемое зарядом $\Delta Q$ в точке В. Аналогично, для поля в точке А:
$E_{A} = E - 2 \pi k \sigma = 0$. (9)
Из (8,9) имеем:
$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{kQ}{R^{2}}$. (10)
После несложных вычислений получаем, как и прежде:
$P = \frac{kQ^{2}}{8 \pi R^{4}}$.
