ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2022-12-23   
Движение материальной точки в плоскости $xy$ описывается законом $x = At, y = At(1 + Bt)$, где $A$ и $B$ - положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки $y(x)$; 2) радиус-вектор $r$ точки в зависимости от времени; 3) скорость $v$ точки в зависимости от времени; 4) ускорение $a$ точки в зависимости от времени.


Решение:


$x = At, t = \frac{x}{A}$,
$y = At(1 + Bt) = A \frac{x}{A} \left ( 1 + B \frac{x}{A} \right ) = x + \frac{B}{A} x^{2}$,
$y = x + \frac{Bx^{2} }{A}$,
$ \vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} = At \vec{i} + At (A + Bt) \vec{j}$,
$\vec{v} = \frac{d \vec{r} }{dt} = A \vec{i} + (A + 2ABt ) \vec{j}, v = \sqrt{A^{2} + (A + 2ABt)^{2} } = A \sqrt{1 + (1 + 2Bt)^{2} }$,
$\vec{a} = \frac{ d \vec{v}}{dt} = 2AB \vec{j}, a = 2AB = const$.
Ответ: 1) $y = x + \frac{Bx^{2} }{A}$; 2) $\vec{r} = At \vec{i} = At + At(1 + Bt) \vec{j}$;