2021-07-30
Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости в без трения с верхней точки шара, закрепленного на горизонтальной поверхности стола. Под каким углом к поверхности стола шайба ударится о стол?
Решение:
Пусть радиус шара $R$ (рис.). Движение шайбы по поверхности шара до момента отрыва - это неравномерное движение по окружности радиусом $R$. Найдем сначала угол $\alpha$ и скорость шайбы $V$ в момент отрыва от шара.
На шайбу действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны шара. Запишем уравнение движения шайбы в проекциях на ось X:
$Mg \cos \alpha - N = ma_{n}$,
где $a_{n} = \frac{V^{2}}{R}$ - нормальное ускорение. В момент отрыва $N = 0$, поэтому получаем
$V^{2} = gR \cos \alpha$.
Для нахождения $V$ и $\alpha$ требуется еще одно уравнение. Запишем его, воспользовавшись законом сохранения энергии:
$\frac{mV^{2}}{2} = mg(R - R \cos \alpha )$,
откуда
$V^{2} = 2gR(1 - \cos \alpha )$.
Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными $V$ и $\alpha$, находим
$\cos \alpha = \frac{2}{3}, V = \sqrt{ \frac{2gR}{3} }$.
Теперь найдем скорость падения $V_{1}$ на стол. Это проще всего сделать с помощью закона сохранения энергии, приравняв полные энергии шайбы в точке падения на стол и в верхней точке шара:
$m \frac{V_{1}^{2}}{2} = 2mgR$,
откуда
$V_{1} = 2 \sqrt{gR}$.
В промежутке времени между отрывом от шара и падением на стол горизонтальная составляющая скорости шайбы не менялась, следовательно (см. рис.),
$V \cos \alpha =V_{1} \cos \beta$.
С учетом найденных ранее выражений для $V$, $\cos \alpha$ и $V_{1}$, получим, что шайба упадет на стол под углом $\beta$ к его поверхности, равным
$\beta = aгccоs \frac{ \sqrt{6} }{9} = 74^{ \circ}$.