2021-07-30
Диск может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости. На диске лежит небольшой брусок массой $M$ на расстоянии $R$ от оси (рис.). На горизонтальной поверхности бруска находится шайба массой $m$, прикрепленная к оси нитью. Диск вместе с бруском и шайбой начинают раскручивать, очень медленно увеличивая его угловую скорость. Считая трение между бруском и диском пренебрежимо малым, определите при какой угловой скорости брусок начнет выскальзывать из под шайбы Коэффициент трения скольжения между шайбой и бруском $\mu$.
Решение:
Найдем сначала угловую скорость $\omega$, при которой брусок не выскальзывает из-под шайбы, т.е. брусок н шайба вращаются вместе. В этом случае они движутся по окружности радиусом $R$ с центростремительным ускорением $a = \omega^{2}R$.
В данной системе много тел и, соответственно много сил. Чтобы не загромождать чертеж, на рисунке силы обозначены так, как обозначают их модули.
Прежде всего разберемся с направлением силы трения (покоя) между шайбой и бруском (голословное утверждение, что расположенная в горизонтальной плоскости сила трения параллельна нити и не может быть исправлена под углом к ней, не очевидно). На шайбу действуют вертикально направленные сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны_бруска, а также сила натяжения нити $\vec{F}_{н}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$, действующая со стороны бруска. Согласно второму занону Ньютона, векторная сумма этих сил должна быть направлена к оси вращения. Это будет только в том случае, если сила трения окажется направленной параллельно нити. По третьему закону Ньютона, такая же по модулю н противоположно направленная сила действует и на брусок со стороны шайбы.
Теперь рассмотрим силы, действующие на брусок. Это сила тяжести $M \vec{g}$, силы $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ со стороны шайбы и сила
$\vec{N}_{1}$ со стороны диска. Уравнение движения бруска записанное в проекциях на ось направленную вдоль нити, имеет вид
$F_{тр} = M \omega^{2}R$.
Брусок не выскальзывает, если модуль силы трения покоя меньше своего максимального значения, равного модулю силы трения скольжения, т.е. если
$F_{тр} < \mu mg$.
иля, с учетом полученного ранее выражения для $F_{тр}$,
$M \omega^{2}R < \mu m g$.
Отсюда следует, что брусок начнет выскальзывать, когда угловая скорость вращения диска достигнет величины
$\omega = \sqrt{ \frac{ \mu m g}{MR} }$.