2021-07-30
Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск (рис.). На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной $l$ и составляющей угол $\alpha$ со стержнем. С каким периодом должна вращаться система, чтобы шарик не отрывался от диска?
Решение:
Шарик движется равномерно по окружности радиусам $l \sin \alpha$ с угловой скоростью $\frac{2 \pi}{T}$ и ускорением
$a = \left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} l \sin \alpha$,
где $T$ - период вращения. На шарик действуют сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{F}_{н}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны диска. Уравнение второго закона Ньютона (уравнение движения) имеет вид
$m \vec{g} + \vec{F}_{н} + \vec{N} = m \vec{a}$.
Это векторное равенство удобно записать в проекциях на ось X, направив ее перпендикулярно нити:
$mg \sin \alpha - N \sin \alpha = ma \cos \alpha$.
Отсюда
$N = m(g - a ctg \alpha )$.
Шарик не отрывается от диска, если $N > 0$, т.е.
$m(g - a ctg \alpha ) > 0$.
Подставляем сюда выражение для $a$ и находим, что
$T \geq 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} \cos \alpha }$.
Заметим, что знак равенства в ответе относится к случаю, когда шарик находится на грани отрыва, т.е. может соприкасаться а может и не соприкасаться с диском (что на практике не имеет значения). Ответ в виде строгого неравенства тоже можно считать правильным.