2021-07-30
Нейтральная частица $\pi$ - мезон распадается на лету на два одинаковых $\gamma$ - кванта (фотоны с большой энергией). Угол разлета между $\gamma$ - квантами составляет $\theta = 174^{ \circ}$. Определите скорость $\pi$ - мезона перед распадом. Рассмотрите нерелятивистский случай, когда скорость частицы много меньше скорости света.
Решение:
В микромире так же, как и в макромире, для замкнутых систем остаются справедливыми законы сохранения энергии и импульса. Воспользуемся ими.
До распада $\pi$ - мезона его полная энергия включала в себя энергию покоя $m_{я}c^{2}$ и кинетическую энергию движения $\frac{m_{я} c^{2}}{2}$, где $m_{я}$ - масса покоя
частицы, а $v$ - ее скорость. После распада $\pi$ - мезона возникают два $\gamma$ - кванта. Пусть энергия каждого кванта равна $E_{ \gamma }$. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
$m_{я}c^{2} + \frac{m_{я}v^{2} }{2} = 2E_{ \gamma}$.
Закон сохранения импульса (векторная модель которого изображена на рисунке) позволяет получить второе уравнение:
$m_{я} v = 2 \frac{E_{ \gamma } }{c} \cos \frac{ \theta }{2}$.
Исключая из этих уравнений $E_{ \gamma}$, получим квадратное уравнение относительно $v$:
$v^{2} - 2 \frac{c}{ \cos \frac{ \theta }{2} }v + 2c^{2} = 0$
и его решение:
$v_{1,2} = \frac{c}{ \cos \frac{ \theta }{2} } \left ( 1 \pm \sqrt{1 - 2 \cos^{2} \frac{ \theta }{2} } \right )$.
Первый корень не имеет физического смысла: $v_{1} > c$, так что решением задачи будет второй корень уравнение а именно
$v = v_{1} = \frac{c}{ \cos \frac{ \theta }{2} } \left ( \sqrt{1 - 2 \cos^{2} \frac{ \theta }{2} } \right ) \approx c \cos \frac{ \theta }{2} \approx 1,6 \cdot 10^{7} м/с$.
(Здесь мы воспользовались приближением: поскольку $\cos^{2} \frac{ \theta }{2} \ll 1$,
$\sqrt{1 - 2 \cos^{2} \frac{ \theta }{2} } = 1 - \cos^{2} \frac{ \theta }{2} )$.