ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-12-11   
Найти энергию уединенной сферы радиуса $R$, равномерно заряженной зарядом $Q$.


Решение:


Представим заряд $Q$ в виде системы точечных зарядов $q_{i}$ (то есть разобъем заряд $Q$ на малые заряды $q_{i}$) и воспользуемся выражением для энергии системы точечных зарядов:

$W = \frac{1}{2} \sum q_{i} \phi_{i} = \frac{1}{2} \sum q_{i} \frac{kQ}{R} = \frac{1}{2} \frac{kQ}{R} \sum q_{i} = \frac{1}{2} \cdot \frac{kQ^{2}}{R}$,

где учтено, что потенциал в области нахождения любого заряда $q_{i}$ равен потенциалу поверхности сферы:

$\phi_{i} = \phi = \frac{kQ}{R}$.

Второй вариант расчета основан на определении потенциальной энергии (5).

Разобъем заряд $Q$ на большое число $N$ малых зарядов

$q = \frac{Q}{N}$.

Работа $A_{N}$ электростатических сил при удалении очередного $n$-го заряда с поверхности шара на бесконечность

$A_{n} = \frac{K(Q-nq)q}{R}$. (1)

Энергия зарядов сферы $W$, согласно (5), определяется суммой $A_{1} + A_{2} + \cdots + A_{N}$:

$W = \sum_{n=1}^{N} A_{n} = \frac{KQNq}{R} - \frac{Kq^{2}N(N+1)}{R} = \frac{KQ^{2}}{2R}$. (2)

В (2) использовало выражение для суммы арифметической прогрессии:

$1 + 2 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}$

и учтено, что $N + 1 \cong N (N \gg 1)$.