2021-07-30
Плоская световая волна ( длина волны $\lambda_{0}$) падает нормально на тонкую прозрачную пластинку толщиной $d$ (рис.). Показатель преломления пластинки меняется вдоль координаты $x$ по закону $n(x) = n_{0} \left (1 + \frac{x}{b} \right )$. Найдите распределение фазы колебаний $\phi (x)$ на выходе из пластинки. В каком направлении будет распространяться волна за пластинкой?
Решение:
Пусть в плоскости, примыкающей к пластинке слева, падающая волна создаст колебания
$E_{0} = a \cos \omega t$.
Время распространения волны через пластинку в разных местах различно и равно
$\tau(x) = \frac{d}{v(x)} = \frac{d}{c} n(x)$.
Тогда на выходе из пластинки (в плоскости, примыкающей к ней справа) получаем
$E(t) = a \cos \omega ( t - \tau ) = a \cos \left ( \omega t - \frac{ \omega }{c} n(x)d \right )$,
или
$E(t) = a \cos ( \omega t - k_{0}n(x)d)$,
где $k_{0} = \frac{ \omega }{c}$ - волновое число в вакууме.
Распределение фазы колебаний на выходе из пластинки есть
$\phi (x) = k_{0} dn(x)$.
Подставляя функцию $n(x) = n_{0} \left (1 + \frac{x}{b} \right )$, находим
$\phi(x) = \phi_{0} + k_{0}n_{0} \frac{d}{b}x$,
где $\phi_{0} = k_{0}n_{0}d$ - константа. Мы получили линейный закон изменения фазы колебаний в плоскости, примыкающей к пластинке справа. В соответствии с результатами предыдущей задачи, это означает, что, пройдя через пластинку, волновой фронт повернулся (как паказано на рисунке) на угол
$\beta = arcsin \frac{n_{0}d }{b}$.
Направление распространения составляет угол $\beta$ с осью $Z$ - наша пластинка эквивалентна призме.
Одно из интереснейших волновых явлений - интерференция. В простейшим случае это явление возникает при наложении двух воли одной и той же частоты.
Согласно принципу суперпозиции, результирующий колебательный процесс $E(t)$ в любой точке наблюдения представляем собой сумму колебаний $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$, созданных в этой точке каждой из волн в отдельности:
$E(t) = E_{1}(t) + E_{2}(t)$,
В некоторых точках пространства колебания $E_{1}$ и $E_{2}$ оказываются синфазными и усиливают друг друга - амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых волн. В других точках волны оказываются в противофазе и гасят друг друга - амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд двух волн. В результате в пространстве возникают чередующиеся области максимальной и минимальной амплитуд результирующего колебания чередующиеся светлые и темные участки. Это явление и называется интерференцией.
При решении любой задачи интерференции, как правило, нужно найти сумму двух колебаний $E_{1} = a_{1} \cos( \omega t - \phi_{1} )$ и $E_{2} = a \cos ( \omega t - \phi_{2} )$ ($\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ - начальные фазы колебаний). Для этого удобно воспользоваться геометрической моделью колебательного движения.
Изобразим первое колебание с помощью вектора $\vec{E}_{1}$, длина которого равна амплитуде колебаний $a_{1}$, а угол наклона относительно горизонтальной оси равен начальной фазе $\phi_{1}$ (рис.). Аналогично, второе колебание изобразим вектором $\vec{E}_{2}$ длиной $a_{2}$ с углом наклона $\phi_{2}$. Представьте себе, что оба вектора вращаются против часовой стрелки с частотой $\omega$, а на рисунке зафиксировано их положение в начальный момент времени $t = 0$. Очевидно, что при таком вращении проекции векторов на ось X изменяются в соответствии с законами $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$, а сумма $a_{1} \cos( \omega t - \phi_{1}) + a_{2} \cos( \omega t - \phi_{2} )$ представляет собой проекцию суммарного вращающегося вектора $\vec{E}$. Длииа этого вектора $a$ есть не что иное, как амплитуда суммарного колебания. Используя теорему косинусов, находим
$a^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1}a_{2} \cos \Delta \phi$,
где $\Delta \phi = \phi_{1} + \phi_{2}$ - разность фаз складываемых колебаний.
Следует отметить, что в оптическом диапазоне частот ($\omega \sim 1015 Гц$) измеряемой величиной является интенсивность света $I$, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний. Тогда предыдущую формулу можно переписать в виде
$I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1}I_{2} } \cos \Delta \phi$.
Отсюда видно, что интенсивность суммарной волны в общем случае не равна сумме интенсивностей слагаемых волн. Максимум суммарной интенсивности достигается в тех точках, где $\Delta \phi = 2 \pi m$ ($m$ - целое число):
$I_{max} = (a_{1} + a_{2} )^{2}$,
а минимальная - в точках, где $\Delta \phi = 2 \pi (m \pm 1/2)$:
$I_{min} = (a_{1} - a_{2} )^{2}$.