2021-07-28
Неподвижная тонкая проволочная рамка в виде квадрата со стороной $a$ расположена горизонтально в однородном магнитном поле, индукция которого равна $B_{0}$ и перпендикулярна плоскости рамки. На рамке лежит проволочная перемычка $PP_{1}$ массой $m$ (рис.). Рамка и перемычка выполнены из одного куска проволоки с удельным сопротивлением $\rho$ и площадью поперечного сечения $S$. Какую скорость приобретет перемычка сразу после выключения магнитного поля? Силой трения и перемещением перемычки за время спадания поля пренебречь.
Решение:
Пусть в произвольный момент времени в процессе уменьшения магнитного поля индукция поля равна $B$. Магнитный поток через контур ABEF (рис.) равен $\Phi_{1} = \frac{3}{4} a^{2}B$, а через контур BCDE - $\Phi_{2} = \frac{1}{4} a^{2}B$. ЭДС индукции $\mathcal{E}_{1} = - \frac{3}{4} a^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$ (в первом контуре) и $\mathcal{E}_{2} = - \frac{1}{4} a^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$ (во втором контуре) наводят в проводниках токи $I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$. Закон Ома для наших замкнутых контуров будет иметь вид
$- \frac{3}{4} a^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = I_{1} \rho \frac{5a}{2S} + I_{2} \rho \frac{a}{S}$,
$- \frac{1}{4} a^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = I_{3} \rho \frac{3a}{2S} - I_{2} \rho \frac{a}{S}$.
Третье уравнение - условие непрерывности тока
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Из совместного решения этих уравнений находим ток через перемычку
$I_{2} = - \frac{2}{21} \frac{aS}{ \rho } \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
На перемычку со стороны внешнего магнитного поля будет действовать сила Лоренца
$F = BI_{2}a = - \frac{2}{31} \frac{a^{2}S }{ \rho } B \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{a^{2}S }{31 \rho } \frac{ \Delta (B^{2} ) }{ \Delta t}$,
За малый промежуток времени $\Delta t$ на перемычку подействует импульс силы, который вызовет приращение импульса перемычки.
$F \Delta t = m \Delta v$.
Следовательно, приращение скорости будет равно
$\Delta v = - \frac{a^{2}S }{31 m \rho } \Delta (B^{2} )$.
Поскольку значение $B^{2}$ изменяется от $B_{0}^{2}$ до 0, а скорость - от 0 до $v$ то при $B = 0$ скорость перемычки будет
$v = \frac{a^{2}S }{31 m \rho } B_{0}^{2}$.