2021-07-28
Проволочное кольцо радиусом $r_{1}$ изготовлено из проводника с поперечным сечением $S_{1}$ и удельным сопротивлением $\rho_{1}$. К точкам кольца a и с при помощи проводников общей длиной $l$, поперечным сечением $S_{2}$ и удельным сопротивлением $\rho_{2}$ подключен амперметр А (рис.). Центральная область кольца радиусом $r_{0}$ ($r_{0} < r_{1}$) пронизывается перпендикулярным плоскости кольца магнитным полем, изменяющимся с постоянной скоростью $\frac{ \Delta B}{ \Delta t} = k$ ($k > 0$). Определите ток, который регистрирует амперметр. Что будет показывать амперметр, если его перебросить в положение, изображенное на рисунке пунктирными линиями? Нарисуйте эквивалентные схемы для обоих случаев. Длина дуги абс равна 1/3 длины кольца. Внутренним сопротивлением амперметра пренебречь.
Решение:
Нарастающее магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля, силовые линии которого будут иметь вид окружностей, расположенных в плоскости чертежа. Одна из силовых линий, в частности, будет проходить по кольцу. На рнсунке красным цветом изображена произвольная силовая линия. Если радиус такой линии $r > r_{0}$, то работа совершаемая вихревым электрическим полем по перемещению единичного заряда вдоль окружности, равна
$E \cdot 2 \pi r = | \mathcal{E}_{i} | = \left | \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} \right | = \pi r_{0}^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = k \pi r_{0}^{2} $,
где $E$ - напряженность вихревого электрического поля на окружности радиусом $r$. Характерно, что распределение возникающего поля в пространстве не зависит от наличия или отсутствия проводников. Другим фундаментальным свойством такого поля является то, что указанная выше работа для любого замкнутого контура который полностью охватывает область линий индукции магнитного поля, остается постоянной и равной ЭДС индукции.
Рассмотрим контур, включающий в себя амперметр два проводника (общей длиной $l$) и дугу кольца adc. В каждом маленьком элементе проводника, входящего в данный контур имеется своя составляющая вихревого электрического поля вдоль проводника и, следовательно, своя ЭДС индукции. Но суммарная ЭДС индукции во всем контуре будет равна $k \pi r_{0}^{2}$: в дуге кольца adс будет распределена ЭДС, равная $\frac{2}{3} k \pi r_{0}^{2}$, а в другой части контура $\frac{1}{3} k \pi r_{0}^{2}$. Закон Ома для данного контура будет иметь вид
$k \pi r_{0}^{2} = I_{1} \rho_{1} \frac{4 \pi r_{1} }{3S_{1} } + I_{3} \rho_{2} \frac{l}{S_{2} }$.
Рассмотрим теперь круговой контур abcd и запишем для него закон Ома
$k \pi r_{0}^{2} = I_{1} \rho_{1} \frac{4 \pi r_{1} }{3S_{1} } + I_{2} \rho_{1} \frac{2 \pi r_{1} }{3S_{1} }$.
Можно было бы выбрать замкнутый контур, состоящий из амперметра и дуги aбc в котором ЭДС индукции равна нулю (контур не пересекают линии магнитного поля) и получить еще одно уравнение:
$0 = I_{2} \rho_{1} \frac{2 \pi r_{1} }{3S_{1} } - I_{3} \rho_{2} \frac{l}{S_{2} }$.
Из этих трех уравнений независимыми являются только два - например, третье уравнение получается почленным вычитанием второго и первого. Поэтому можно выбрать любые два уравнения, а недостающее третье получить из условия непрерывности тока
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Совместное решение трех уравнений позволяет определить ток через амперметр.
$I_{3} = \frac{k \pi r_{0}^{2} }{ \rho_{1} \frac{4 \pi r_{1} }{3S_{1} } + 3 \rho_{2} \frac{l}{S_{2} } }$.
Аналогичную систему трех уравнений можно записать для второго положения амперметра.
$k \pi r_{0}^{2} = I_{2}^{*} \rho_{1} \frac{2 \pi r_{1} }{3S_{1} } + I_{3}^{*} \rho_{2} \frac{l}{S_{2} }$,
$I_{1}^{*} \rho_{1} \frac{4 \pi r_{1} }{3S_{1} } - I_{3}^{*} \rho_{2} \frac{I}{S_{2} } = 0$,
$I_{2}^{*} = I_{1}^{*} + I_{3}^{*}$.
Направления токов $I_{1}^{*}$ и $I_{2}^{*}$ совпадают с направлениями токов $I_{1}$ и $I_{2}$. Из совместного решения этих уравнений получаем
$I_{3}^{*} = \frac{k \pi r_{0}^{2} }{ \rho_{1} \frac{2 \pi r_{1} }{3S_{1} } + \rho_{2} \frac{3l}{2S_{2} } }$
- ток через амперметр меняет направление и возрастает в два раза.
Эквивалентные схемы для обоих случаев изображены на рисунке (I - первое положение амперметра, II - второе). Параметры источников (ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $R$):
$\mathcal{E}_{1} = \frac{2}{3} k \pi r_{0}^{2}, R_{1} = \rho_{1} \frac{4 \pi r_{1} }{3S_{1} }, \mathcal{E}_{2} = \frac{1}{3} k \pi r_{0}^{2}$,
$R_{2} = \rho_{1} \frac{2 \pi r_{1} }{3S_{1} }, \mathcal{E}_{2} = \frac{1}{3} k \pi r_{0}^{2}, R_{3} = \rho_{2} \frac{l}{S_{2} }$,
$\mathcal{E}_{3}^{*} = \frac{2}{3} k \pi r_{0}^{2}, R_{3}^{*} = \rho_{2} \frac{l}{S_{2} }$.