2021-07-28
Два проводящих диска, радиусы которых $r_{1}$ и $r_{2}$, вращаются с угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией, ровной $B$ и перпендикулярной их плоскости (рис.). Центры дисков присоединены к обкладкам конденсатора емкостью $C_{1}$, ободы (через скользящие контакты) - к обкладкам конденсатора емкостью $C_{2}$. Найдите разности потенциалов на конденсаторах.
Решение:
Эта задача - типичный пример того, когда магнитный поток через замкнутый контур не меняется, а ЭДС индукции тем не менее возникает. Это связано с тем, что в данном случае мы имеем дело с большим количеством контуров, образованных в результате разбиения дисков на маленькие секторы в виде проводящих перемычек, соединяющих центры дисков с проводящими кольцами радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$. На рисунке показана часть одного из таких контуров, в котором при вращении радиальной перемычки магнитный поток уже не сохраняется и возникает ЭДС индукции равная по закону Фарадея $\mathcal{E}_{i} = - \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t}$. Если длина перемычки $r_{1}$ и угловая скорость $\omega$, то
$\mathcal{E}_{1} = \frac{1}{2} \omega r_{1}^{2}B$,
где $\frac{ \omega r_{1}^{2}}{2}$ - площадь сектора, заметаемая перемычкой за единицу времени.
Совершенно аналогично, вращающаяся одиночная перемычка другого диска, радиусом $r_{2}$, вызывает появление
$\mathcal{E}_{2} = \frac{ \omega r_{2}^{2}B }{2}$.
Эквивалентная схема для случая двух вращающихся перемычек изображена на рисунке.
Возникает законный вопрос - а как учесть все остальные перемычки, на которые мы разбили диски? Разумеется, во всех перемычках одного и того же диска возникают одинаковые ЭДС индукции и все они соединены параллельно друг другу. Но тогда их действие эквивалентно действию одной ЭДС - все остальные можно убрать без всяких последствий. Следовательно, наша эквивалентная схема будет соответствовать действительности.
Очевидно, что заряды на конденсаторах будут равны (условие электронейтральности всех элементов схемы в исходном состоянии). Обозначим заряд каждого конденсатора через $Q$ и запишем условие потенциальности электростатического поля:
$\mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} - \frac{Q }{C_{1} } - \frac{Q}{C_{2} } = 0$.
Отсюда находим заряды конденсаторов
$Q = \frac{ ( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2})C_{1}C_{2}}{C_{2} + C_{1} } = \frac{ \omega BC_{1}C_{2}(r_{1}^{2} - r_{2}^{2} ) }{ 2(C_{1} + C_{2} ) }$
и искомые разности потенциалов:
$U_{1} = \frac{ \omega BC_{2} (r_{1}^{2} - r_{2}^{2} ) }{2(C_{1} + C_{2} )}$
и
$U_{2} = \frac{ \omega BC_{1} (r_{1}^{2} - r_{2}^{2} ) }{2(C_{1} + C_{2} )}$.
При $r_{1} > r_{2}$ знаки зарядов на пластинах конденсаторов соответствуют рисунку.
Эту задачу можно решать и не рассматрнвая магнитный поток. Во вращающихся дисках на свободные электроны будут действовать две силы: сила Лоренца и электрическая сила со стороны возникшего радиального электрического поля. В стационарном режиме надо записать условие отсутствия тока в дисках, а затем записать условие потенциальности атектростатического поля вдоль замкнутого контура.