2021-07-28
Два одинаковых проволочных кольцао радиусы которых $R$, а сопротивления $r$, движутся поступательно в одной плоскости навстречу друг другу вдоль прямой проходящей через их центры (рис.). Однородное магнитное поле с индукцией, равной $B$, направлено препендикулярно плоскости колец. Найдите направления и абсолютные величины сил, действующих на кольца со стороны магнитного поля, в тот момент, когда скорости колец равны $v$, а угол $\alpha = \frac{ \pi }{3}$. В точках касания колец а и б имеется хороший электрический контакт. Индуктивностями колец пренебречь.
Решение:
При движении колец во всех четырех проволочных участках возникают одинаковые по величине ЭДС индукции:
$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E}_{3} = \mathcal{E}_{4} = \mathcal{E}_{i} = vBl_{ab} = 2v BR \sin \frac{ \alpha }{2}$.
Здесь использован тот факт, что ЭДС индукции, возникающая в произвольном по форме контуре не зависит от его формы, а определяется лишь расстояннем между разомкнутыми концами контура.
(Для доказательства этого факта достаточно заметить что при поступательном движении в однородном магнитном поле замкнутого контура, состоящего из криволинейного участка и прямолинейного проводника, соединяющего концы нашего участка, поток вектора индукции через весь замкнутый контур не меняется а значит, полная ЭДС равна нулю.)
Эквивалентная электрическая схема для нашего случая представлена на рисунке, где черный контур соответствует левому кольцу а красный - правому. В этой схеме $\mathcal{E}_{1}$ - ЭДС индукции, действующая в левом участке левого кольца, внутреннее сопротивление этого «источника» равно $r_{1} = r \left ( 1 - \frac{ \alpha}{2 \pi} \right )$, $\mathcal{E}_{2}$ и $r_{2} = \frac{r \alpha }{2 \pi }$ соответствуют правому участку левого кольца, $\mathcal{E}_{3}$ и $r_{3} = \frac{r \alpha }{2 \pi}$ - левому участку правого кольца, $\mathcal{E}_{4}$ и $r_{4} = r \left ( 1 - \frac{ \alpha}{2 \pi} \right )$ - правому участку правого кольца.
В силу симметрии,
$I_{1} = I_{4}, I_{3} = I_{2}$,
По закону Ома для замкнутого контура, содержащего источники ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ и $\mathcal{E}_{3}$, можно записать
$\mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{3} = I_{2}r_{2} + I_{3}r_{3}$, или $\mathcal{E}_{i} = I_{2}r \frac{ \alpha }{2 \pi }$.
Отсюда
$I_{2} = I_{3} = \frac{4 \pi Bv R \sin \frac{ \alpha }{2} }{ \alpha r}$.
Совершенно аналогично для контура, содержащего источники $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{4}$, получаем
$I_{1} = I_{4} = \frac{4 \pi BvR \sin \frac{ \alpha }{2} }{ \alpha r}$.
Сила Ампера, действующая со стороны внешнего магнитного поля на левый участок левого кольца равна
$F_{1} = BI_{1}l_{об} = \frac{8 \pi B^{2}vR^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} }{(2 \pi - \alpha )r}$,
а на правый -
$F_{2} = BI_{2}l_{об} = \frac{8 \pi B^{2}vR^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} }{ \alpha r}$.
(Здесь использовано утверждение, что сила Ампера, действующая на криволинейный участок контура с током в однородном магнитном поле не зависит от формы участка и равна силе, действующей на прямолинейный проводник, соединяющий концы нашего криволинейного участка. Можно доказать это утверждение в лоб исходя из захона Ампера. Мы же приведем энергетические соображения. Для доказательства заметим, что при воображаемом поступательном движении замкнутого контура в любом направлении работа сил Ампера должна быть равна нулю. В самом деле, равна нулю как полная работа сил Лоренца, действующих на заряды контура ($\vec{F}_{л} \perp \vec{v}$), так и работа по перемещению этих зарядов вдоль контура ($\mathcal{E} = 0$).). Результирующая сила Ампера, действующая на левое кольцо, равна
$F_{1} = F_{1} + F_{2} = \frac{16 \pi^{2}B^{2}vR^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} }{ \alpha (2 \pi - \alpha )r} = \frac{36}{5} \frac{B^{2}vR^{2} }{r}$
и направлена в противоположную сторону по отношению к скорости кольца. Из соображений симметрии, сила Ампера, действующая на правое кольцо, равна
$F_{ \parallel} = - \frac{36}{5} \frac{B^{2}vR^{2} }{r}$.