2021-07-28
Два проволочных контура, изготовленных из одного куска провода, движутся с одинаковыми скоростями к длинному прямолинейному проводу с постоянным током (рис.). Контур 1 является квадратом со стороной $a$, а контур 2, выполненный в виде восьмерки, состоит из двух квадратов стороны которых тоже $a$. Когда контуры оказались на расстоянии $Ь = 2a$ от провода, ток в первом контуре был равен $I_{1}$. Чему былравен в этот момент ток во втором контуре, если известно, что индукция магнитного поля, создаваемого током провода, обратно пропорциональна расстоянию от провода? Провод и оба контура расположены в одной плоскости.
Решение:
Запишем выражение для индукции магнитного поля провода с током в виде $B(x) = \frac{A}{x}$, где $A$ - некоторая константа, а $x$ - расстояние от провода. Пусть скорость проволочных контуров равна $v$. Эквивалентная схема для первого контура изображена на рисунке. Здесь ЭДС источников равны $\mathcal{E}_{1} = \frac{aAv}{b} = \frac{Av}{2}$ и $\mathcal{E}_{2} = \frac{aAv}{a + b} = \frac{Av}{3}$, внутренние сопротивления источников одинаковы и равны $r$ (сопротивление провода длиной $a$), внешнее сопротивление $R_{1} = 2r$ (сопротивление провода длиной $2a$). Величина силы тока в этом контуре равна
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} }{R_{1} + 2r } = \frac{Av}{24r}$.
На рисунке показана эквивалентная схема для второго контура. В ней $\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E}_{1} = \frac{Av}{2}, \mathcal{E}_{4} = \frac{2aAv}{b + a} = \frac{2Av}{3}, \mathcal{E}_{5} = \frac{aAv}{b + 2a} = \frac{Av}{4}, R_{2} = 4r$. Ток в этом контуре равен
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{3} + \mathcal{E}_{5} - \mathcal{E}_{4} }{R_{2} + 4r } = \frac{Av}{96r}$.
Сравнивая два выражения для токов, получаем
$I_{2} = \frac{I_{1}}{4}$.